Cykelnotatie

In de combinatoriek, een deelgebied van de wiskunde, is de cykelnotatie een nuttige conventie voor het uitschrijven van een permutatie in termen van haar constituerende cykels

Definitie

Laat $S$ een eindige verzameling zijn en laat

a_{1},\ldots ,a_{k},\quad k\geq 2

verschillende elementen van $S$ zijn. De uitdrukking

(a_{1}\ \ldots \ a_{k})

duidt de cykel σ aan. De groepsactie van σ is

a_{1}\mapsto a_{2}\mapsto a_{3}\ldots a_{k}\mapsto a_{1}.

Voor elke index i,

\sigma (a_{i})=a_{i+1},

waar $a_{k+1}$ gelijk is aan $a_{1}$ .

Er zijn $k$ verschillende uitdrukkingen voor dezelfde cykel; De onderstaande uitdrukkingen zijn allen een weergave van dezelfde cykel:

(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\ \ldots \ a_{k})=(a_{2}\ a_{3}\ \ldots \ a_{k}\ a_{1})=\cdots =(a_{k}\ a_{1}\ a_{2}\ \ldots \ a_{k-1}).\,

Een 1-element cykel heeft dezelfde betekenis als de identiteitspermutatie en wordt daarom weggelaten. Het is gebruikelijk om de identiteitspermutatie simpelweg uit te drukken als $()\,$ .

Permutatie als product van disjuncte cykels

Laat $\pi$ een permutatie van $S$ zijn en laat

S_{1},\ldots ,S_{k}\subset S,\quad k\in \mathbb {N}

de banen van $\pi$ zijn met meer dan 1 element. Voor elke $j=1,\ldots ,k$ laat $n_{j}$ de kardinaliteit van $S_{j}$ aanduiden. Kies dus een $a_{1,j}\in S_{j}$ en definieer

a_{i+1,j}=\pi (a_{i,j}),\quad i\in \mathbb {N} .\,

Men kan nu $\pi$ uitdrukken als een product van disjuncte cykels, namelijk

\pi =(a_{1,1}\ \ldots a_{n_{1},1})(a_{1,2}\ \ldots \ a_{n_{2},2})\ldots (a_{1,k}\ \ldots \ a_{n_{k},k}).\,

Voorbeeld

Er zijn 24 elementen in de symmetrische groep $\{1,2,3,4\}$ . Deze kunnen geschreven worden in de cykelnotatie en gegroepeerd worden volgens hun conjugatieklassen: