Complexe logaritme

In de functietheorie is een complexe logaritme de inverse van de complexe exponentiële functie, net zoals de natuurlijke logaritme y = ln x de inverse is van de reële exponentiële functie x = e ^y. Een logaritme van ${\displaystyle z}$ is dus een complex getal ${\displaystyle w}$, zodanig dat ${\displaystyle e^{w}=z}$.^[1] De notatie is ${\displaystyle w=\log z}$.

Omdat ieder complexe getal ${\displaystyle z}$ ongelijk aan 0 dus een oneindig aantal logaritmen heeft,^[1] is de nodige zorg vereist om de logaritme een eenduidige betekenis te geven:

${\displaystyle \mathrm {Re} (\log z)=\log |z|}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (\log z)}$ is het argument van ${\displaystyle z}$.

Dus als ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ met ${\displaystyle r>0}$, in polaire vorm, dan is ${\displaystyle w=\ln r+i\theta }$ een logaritme van ${\displaystyle z}$. Heeltallige veelvouden van ${\displaystyle 2\pi i}$ hierbij optellen geeft de andere waarden van ${\displaystyle w}$ die voldoen aan ${\displaystyle e^{w}=z}$.