Cantor-ruimte

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, is een cantor-ruimte, vernoemd naar Georg Cantor, een topologische abstractie van de klassieke cantor-verzameling: een topologische ruimte is een cantor-ruimte als deze topologische ruimte homeomorf is met de cantor-verzameling. In de verzamelingenleer wordt de topologische ruimte $2^{\omega }$ "de" cantor-ruimte genoemd.

Voorbeelden

De cantor-verzameling zelf is natuurlijk een cantor-ruimte. Maar het kanonieke voorbeeld van een cantor-ruimte is het aftelbare oneindige topologische product van de discrete 2-puntsruimte (0, 1). Dit wordt meestal geschreven als $2^{\mathbb {N} }$ van $2^{\omega }$ (waar 2 staat voor de verzameling met 2 elementen (0,1) met discrete topologie). Een punt in $2^{\omega }$ is een oneindige binaire rij, dat wil zeggen een rij, die alleen de waarden 0 of 1 kan aannemen. Gegeven een dergelijke rij $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ , kan men deze rij afbeelden op het reële getal

2\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {1}{3^{n}}}

Deze afbeelding is een homeomorfisme van $2^{\omega }$ op de cantor-verzameling, waaruit blijkt dat $2^{\omega }$ inderdaad een cantor-ruimte is.

Eigenschappen

Zoals kan worden verwacht uit de stelling van Brouwer komen cantor-ruimten in verschillende vormen voor. Veel eigenschappen van cantor-ruimten kunnen worden vastgesteld door gebruik te maken van $2^{\omega }$ , dit omdat de constructie ervan als een product de cantor-ruimte ontvankelijk maakt voor analyse.

Cantor-ruimten hebben de eigenschappen:

De kardinaliteit van enige cantor-ruimte is $2^{\aleph _{0}}$ , dat wil zeggen, de kardinaliteit van het continuüm.
Het product van twee (of zelfs een eindig of aftelbaar aantal) cantor-ruimten is opnieuw een cantor-ruimte. Samen met de cantor-functie kan dit feit worden gebruikt om ruimtevullende krommen te construeren.
Een hausdorff topologische ruimte is compact metriseerbaar dan en slechts dan als het een continu beeld van een cantor-ruimte is.