Brahmaguptapolynoom

Een brahmaguptapolynoom van de orde ${\displaystyle n}$ is elk van de beide polynomen die op de eerste rij staan van de ${\displaystyle n}$-de macht van de brahmaguptamatrix

${\displaystyle B(x,y,1)={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}}$

Schfijft men de ${\displaystyle n}$-de macht daarvan als:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}x_{n}&y_{n}\\ty_{n}&x_{n}\end{bmatrix}}}$,

dan zijn ${\displaystyle x_{n}}$ en ${\displaystyle y_{n}}$ brahmaguptapolynomen van de orde ${\displaystyle n}$. Deze polynomen voldoen daarmee aan het paar recurrente betrekkingen:

${\displaystyle x_{n+1}=x\cdot x_{n}+t\cdot y\cdot y_{n}}$

${\displaystyle y_{n+1}=x\cdot y_{n}+y\cdot x_{n}}$

De eerste polynomen zijn:

${\displaystyle x_{0}=1}$

${\displaystyle y_{0}=0}$

${\displaystyle x_{1}=x}$

${\displaystyle y_{1}=y}$

${\displaystyle x_{2}=x^{2}+ty^{2}}$

${\displaystyle y_{2}=2xy}$

${\displaystyle x_{3}=x^{3}+3txy^{2}}$

${\displaystyle y_{3}=3x^{2}y+ty^{3}}$

De algemene vorm is:

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=0,k\,even}^{n}{\tbinom {n}{k}}t^{k/2}x^{n-k}y^{k}}$

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1,k\,oneven}^{n}{\tbinom {n}{k}}t^{(k-1)/2}x^{n-k}y^{k}}$

De brahmaguptapolynomen voldoen ook aan de volgende betrekking tussen de partiële afgeleiden:

${\displaystyle {\frac {\partial x_{n}}{\partial x}}={\frac {\partial y_{n}}{\partial y}}=nx_{n-1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial x_{n}}{\partial y}}=t{\frac {\partial y_{n}}{\partial x}}=nty_{n-1}}$

Relatie met pellgetallen

Voor ${\displaystyle x=y=1,t=2}$ is de brahmaguptapolynoom ${\displaystyle y_{n}=P_{n}}$, het ${\displaystyle n}$-de pellgetal, en ${\displaystyle 2x_{n}=Q_{n}}$, het ${\displaystyle n}$-de pellgetal van de tweede soort.