Bernsteinpolynoom

De bernsteinpolynomen (genoemd naar Sergej Natanovitsj Bernstein) zijn een familie speciale reële polynomen met geheeltallige coëfficiënten.

Betekenis en geschiedenis

De bernsteinpolynomen vinden hun oorsprong in de approximatietheorie. Hun bedenker, Bernstein, kon met behulp van deze polynomen een constructief bewijs leveren voor de stelling van Stone-Weierstrass]. Aan het einde van de jaren vijftig werden voor het eerst pogingen ondernomen methoden op basis van bernsteinpolynomen te gebruiken bij het ontwerpen van krommen en oppervlakken. Paul de Faget de Casteljau bij Citroën en Pierre Bézier bij Renault gebruikten de polynomen bij hun ontwikkeling van de béziercurven en legden zo de basis van het huidige Computer Aided Design (CAD).

Definitie

Voor ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ zijn de ${\displaystyle n+1}$ bernsteinpolynomen van graad ${\displaystyle n}$ de reële polynomen

${\displaystyle B_{k,n}(t)={n \choose k}\,t^{k}\,(1-t)^{n-k}}$

met ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ en ${\displaystyle t\in [0,1]}$.

Door affiene transformaties van het interval ${\displaystyle [0,1]}$ naar een interval ${\displaystyle [a,b]}$ ontstaan de gegeneraliseerde bernsteinpolynomen:

${\displaystyle B_{k,n}^{[a,b]}(t)={\frac {1}{(b-a)^{n}}}{n \choose k}(t-a)^{k}\,(b-t)^{n-k}}$

voor ${\displaystyle t\in [a,b]}$

Hierin is ${\displaystyle {n \choose k}}$ een binomiaalcoëfficiënt.

De eerste bernsteinpolynomen ${\displaystyle B_{k,n}(t)}$

${\displaystyle k}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle n}$
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle 1-t}$	${\displaystyle t}$
2	${\displaystyle (1-t)^{2}}$	${\displaystyle 2t(1-t)}$	${\displaystyle t^{2}}$
3	${\displaystyle (1-t)^{3}}$	${\displaystyle 3t(1-t)^{2}}$	${\displaystyle 3t^{2}(1-t)}$	${\displaystyle t^{3}}$

Voorbeeld

De afbeelding toont de bernsteinpolynomen ${\displaystyle B_{i,4}}$, ${\displaystyle 0\leq k\leq 4}$ van graad ${\displaystyle 4}$ op het interval ${\displaystyle [0,1]}$.

Eigenschappen

De bernsteinpolynomen op het interval ${\displaystyle [0,1]}$ hebben de volgende eigenschappen:

• Basiseigenschap: De bernsteinpolynomen ${\displaystyle \{B_{k,n}:0\leq k\leq n\}}$ zijn lineair onafhankelijk en vormen een basis van ${\displaystyle \Pi _{n}}$, de ruimte van de polynomen van graad kleiner of gelijk aan ${\displaystyle n}$.
• Positiviteit: ${\displaystyle B_{k,n}(t)>0}$ voor alle ${\displaystyle t\in (0,1)}$.
• Extrema: De polynoom ${\displaystyle B_{k,n}}$ heeft precies één (absoluut) maximum op het interval ${\displaystyle [0,1]}$ in het punt ${\displaystyle t=k/n}$. In het bijzonder is dus:

${\displaystyle B_{0,n}(0)=B_{n,n}(1)=1}$

• Opdeling van 1: De bernsteinpolynomen van graad ${\displaystyle n}$ zijn de termen in de binomiale ontwikkeling:

${\displaystyle 1=(t+(1-t))^{n}=\sum _{k=0}^{n}B_{k,n}(t)}$

• Symmetrie: ${\displaystyle B_{k,n}(t)=B_{n-k,n}(1-t)}$
• Recursie:

${\displaystyle B_{k,n}(t)=(1-t)\,B_{k,n-1}(t)+t\,B_{k-1,n-1}(t)}$

${\displaystyle B_{k,n}=0}$ voor ${\displaystyle k<0}$ en ${\displaystyle k>n}$

${\displaystyle B_{0,0}=1}$

• Teruglopend:

${\displaystyle B_{k,n}(t)={\frac {k+1}{n+1}}B_{k+1,n+1}(t)+{\frac {n+1-k}{n+1}}B_{k,n+1}(t)}$

• Afgeleiden:

${\displaystyle B'_{k,n}(t)=n(B_{k-1,n-1}(t)-B_{k,n-1}(t))}$

${\displaystyle B_{-1,n-1}=B_{n,n-1}=0}$

• Primitieve:

${\displaystyle \int B_{k,n}(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{i=k+1}^{n+1}B_{i,n+1}(t)}$

Benadering door bernsteinpolynomen

Voor een functie ${\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$ heet de polynoom ${\displaystyle B_{n}(f)}$ gedefinieerd door

${\displaystyle B_{n}(f)(t)=\sum _{k=0}^{n}B_{k,n}(t)\cdot f\left({\frac {k}{n}}\right)}$

de ${\displaystyle n}$-de bernsteinpolynoom van ${\displaystyle f}$.

Als ${\displaystyle f}$ een continue functie is op het interval ${\displaystyle [0,1]}$, convergeert de rij van zijn bernsteinpolynomen ${\displaystyle B_{n}(f)}$ uniform naar ${\displaystyle f}$.

Het bewijs hiervan kan onder andere geleverd wordenmet behulp van de zwakke wet van de grote getallen.

Voorbeeld

De benadering van de functie

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}2t&{\text{ voor }}0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\2(1-t)&{\text{ voor }}{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}}$

door bernsteinpolynomen van de graad 4 is de bernsteinpolynoom van ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle B_{4}(f)(t)=\sum _{k=0}^{n}B_{k,4}(t)\cdot f\left({\frac {k}{4}}\right)=}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\left(4t(1-t)^{3}+4t^{3}(1-t)\right)+6t^{2}(1-t)^{2}=}$

${\displaystyle =2t-4t^{3}+2t^{4}}$

In de figuur staat de functie ${\displaystyle f}$ en de benaderingen voor ${\displaystyle n=4}$ en ${\displaystyle n=10}$.

Literatuur

• Bernstein, S.N., Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités, Commun. soc. Math. Charkov, deel 12, nr. 2, blz. 1-2, 1912/1913.

Weblinks

• Bernsteinpolynomen (applet)