Arccosinus

De arccosinus, ook boogcosinus, aangeduid door ${\displaystyle \mathrm {acos} ,\ \arccos ,\ \mathrm {bgcos} }$^[1] of ${\displaystyle \cos ^{-1}}$,^[2] is een cyclometrische functie in de wiskunde die de inverse functie is van de cosinus. Het bereik wordt beperkt tot het interval ${\displaystyle [0,\pi ]}$, wat nodig is vanwege het periodieke karakter van de sinus. Het resultaat van de arcsinus is de hoek tussen ${\displaystyle -\pi /2}$ en ${\displaystyle \pi /2}$ waarvan de sinus het argument als waarde heeft. Het domein is [-1,1] en het bereik is ${\displaystyle [0,\pi ]}$.

De grafiek van ${\displaystyle y=\arccos x}$ is het spiegelbeeld van de grafiek van de beperkte cosinus ten opzichte van de rechte ${\displaystyle y=x}$.

Definitie

De functie ${\displaystyle \arccos }$ is gedefinieerd voor ${\displaystyle x\in [-1,1]}$ door de relatie

${\displaystyle \arccos(x)=\alpha \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha \in [0,\pi ]{\mbox{ en }}\cos(\alpha )=x}$

In woorden: de hoek of boog waarvan de cosinus ${\displaystyle x}$ is, is gelijk aan ${\displaystyle \alpha }$.

Vanwege de relatie tussen de sinus en de cosinus geldt:

${\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Machtreeks

De arccosinus heeft de reeksontwikkeling:

${\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+{\frac {1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}(2n+1)n!}}x^{2n+1}}$

Daarin is ${\displaystyle \Gamma }$ de gammafunctie.

Afgeleide

De afgeleide van de arccosinus is:

${\displaystyle {{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\arccos(x)={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

voor ${\displaystyle x\in (-1,1)}$