Aliquotsom

In de getaltheorie is de aliquotsom van een natuurlijk getal de som van de echte delers van dat getal.^[1]

In formule:

${\displaystyle s(n)=\sum \nolimits _{d|n,\ d\neq n}d}$

Hierin is ${\displaystyle s(n)}$ de aliquotsom van ${\displaystyle n}$ en betekent ${\displaystyle d|n}$ dat ${\displaystyle d}$ “deelbaar is op” (“een deler is van”) ${\displaystyle n}$.

Nb. Van elk natuurlijk getal ${\displaystyle n}$ is ${\displaystyle 1}$ een (echte) deler.

Voorbeelden

• De echte delers van ${\displaystyle 18}$ zijn ${\displaystyle 1,2,3,6,9}$. Dan is:

${\displaystyle s(18)=1+2+3+6+9=21}$

• De echte delers van ${\displaystyle 6}$ zijn ${\displaystyle 1,2,3}$. Dus:

${\displaystyle s(6)=1+2+3=6}$

• Het getal ${\displaystyle 1}$ heeft geen echte delers. Daarom is, per definitie: ${\displaystyle s(1)=0}$.

Opmerking

Indien de functie ${\displaystyle s}$ wordt gedefinieerd met behulp van de functie ${\displaystyle \sigma }$, waarbij ${\displaystyle \sigma (n)}$ de som is van alle delers van ${\displaystyle n}$, dus als:

${\displaystyle s(n)=\sigma (n)-n}$

dan is (inderdaad) ${\displaystyle s(1)=\sigma (1)-1=1-1=0}$.

Waarden van de aliquotsom

Voor ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,25}$ zijn de opvolgende waarden:^[2]

${\displaystyle 0,1,1,3,1,6,1,7,4,8,1,16,1,10,9,15,1,21,1,22,11,14,1,36,6}$

De functie s bij bijzondere getallen

• Als ${\displaystyle n}$ een priemgetal is, dan is ${\displaystyle s(n)=1}$.
• Als ${\displaystyle n}$ een perfect getal is, dan is ${\displaystyle s(n)=n}$.
• Als ${\displaystyle n}$ een overvloedig getal is, dan is ${\displaystyle s(n)>n}$.
• Als ${\displaystyle n}$ een gebrekkig getal is, dan is ${\displaystyle s(n)<n}$.
• Is ${\displaystyle n}$ een macht van ${\displaystyle 2}$, dus ${\displaystyle n=2^{k}}$, dan is:

${\displaystyle s(n)=1+2+2^{2}+\ldots +2^{k-1}=2^{k}-1=n-1}$

En deze eigenschap geldt dus voor elk bijna perfect getal.

Eigenschappen van de functie ${\displaystyle \sigma }$

Als ${\displaystyle m,n}$ natuurlijke getallen zijn die relatief priem zijn, dan is:

${\displaystyle \sigma (mn)=\sigma (m)\cdot \sigma (n)}$

Bewijs

Elke deler ${\displaystyle d}$ van het getal ${\displaystyle mn}$ bestaat uit priemfactoren die in ${\displaystyle m}$ zitten en priemfactoren die in ${\displaystyle n}$ zitten. Omdat ${\displaystyle m,n}$ geen gemeenschappelijke delers hebben, is zo’n ${\displaystyle d}$ te schrijven als ${\displaystyle d=d_{m}d_{n}}$, waarbij ${\displaystyle d_{m}|m,\ d_{n}|n}$.
En omgekeerd, elke keuze van een deler ${\displaystyle d_{m}}$ van ${\displaystyle m}$ en deler ${\displaystyle d_{n}}$ van ${\displaystyle n}$ geeft weer een deler van ${\displaystyle mn}$, namelijk ${\displaystyle d_{m}\cdot d_{n}}$.
Het aantal delers van ${\displaystyle mn}$ is daarmee gelijk aan het aantal delers van ${\displaystyle m}$ maal het aantal delers van ${\displaystyle n}$. Dan is:

${\displaystyle \sigma (mn)=\sum \nolimits _{d\ |\ mn,\ d\neq mn}d=\sum \nolimits _{d_{m}|m,\ d_{n}|n}d_{m}d_{n}=\sum \nolimits _{d_{m}|m}d_{m}\,\cdot \,\sum \nolimits _{d_{n}|n}d_{n}=\sigma (m)\,\cdot \,\sigma (n)}$

Als ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\ldots p_{r}^{a_{r}}}$ de priemontbinding is van het natuurlijke getal ${\displaystyle n}$, waarin ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},\ldots ,p_{r}}$ verschillende priemgetallen zijn (elk met ${\displaystyle a_{i}}$ als exponent), dan is:

${\displaystyle \sigma (n)=\prod \nolimits _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{a_{i}+1}-1}{p_{i}-1}}}$

Gevolg

Is de priemontbinding van een getal ${\displaystyle n}$ bekend, dan kan ${\displaystyle \sigma (n)}$, en daarmee dus ook ${\displaystyle s(n)}$, worden berekend. Evenwel, het ontbinden van erg grote getallen in priemfactoren is niet zo eenvoudig.

Voorbeeld

Voor ${\displaystyle n=24=2^{3}\cdot 3}$ is:

${\displaystyle p_{1}=2,\ a_{1}=3,\ p_{2}=3,\ a_{2}=1}$.

Zodat:

${\displaystyle \sigma (24)={\frac {2^{4}-1}{2-1}}\cdot {\frac {3^{2}-1}{3-1}}=15\cdot 4=60}$

Dus is: ${\displaystyle s(24)=60-24=36}$.

Zie ook

• Aliquot
• Onaanraakbaar getal
• Hoofdstelling van de rekenkunde
• Rekenkundige functie
• Multiplicatieve functie

Aliquotrij

De functie ${\displaystyle s}$, toegepast op ${\displaystyle n}$, kan ook geïtereerd worden (herhaald worden toegepast). Hierdoor ontstaat de rij:

${\displaystyle n,s(n),s(s(n)),s(s(s(n))),...}$

Deze rij wordt de aliquotrij van het getal ${\displaystyle n}$ genoemd.

Voorbeeld

Voor ${\displaystyle n=15}$ is:

${\displaystyle s(15)=1+3+5=9,\ s(9)=1+3=4,\ s(4)=1+2=3,\ s(3)=1,\ s(1)=0}$

De aliquotrij van ${\displaystyle 15}$ is dan: ${\displaystyle 15,9,4,3,1,0}$.

Bronnen F. Beukers (1998): Getaltheorie. Utrecht: Epsilon Uitgaven; pp. 23-26, pp. 32-39. (fr) J.P. Delahaye (2002): Nombres aimables et suites aliquotes. In: Pour la science, no. 292; pp. 98-103. M. Looijen (2015): Over getallen gesproken. Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e druk (2016); pp. 112-113. Noten ↑ Het woord aliquot wordt hier als (niet-verbogen) bijvoeglijk naamwoord gebruikt. ↑ (en) Rij: A001065 - Sum of proper divisors. Op: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Gearchiveerd op 28 november 2021.