Gerakan berkala

Umumnya, persamaan bagi pangayun ialah penyelesaian bagi persamaan

d 2 x d t 2 + b d x d t + ω 0 2 x = A 0 c o s ( ω t ) {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x=A_{0}cos(\omega t)\,}

dimana

b {\displaystyle b\,} ialah pemalar redaman
ω 0 {\displaystyle \omega _{0}\,} ialah frekuensi sudut
A 0 c o s ( ω t ) {\displaystyle A_{0}cos(\omega t)\,} ialah faktor luar yang mengayunkan sistem itu

Istilah-istilah penting

  • Amplitud, A {\displaystyle A\,} adalah jarak maksimum dari keseimbangan. Unit SInya ialah meter.
  • Frekuensi, f {\displaystyle f\,} ialah jumlah kitaran dalam satu unit masa. Bagi frekuensi sudut ( ω {\displaystyle \omega \,} ) pula, ia berhubung kait dengan f {\displaystyle f\,} melalui persamaan
ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f\,}

Unit SI bagi frekuensi ialah hertz,HZ, dimana

1 hertz = 1 Hz = 1 kitaran/saat = 1/saat.

  • Tempoh, T {\displaystyle T\,} ialah masa untuk satu kitaran. Unit SInya ialah saat. Perhubungan diantara tempoh dan frekuensi dan frekuensi sudut ialah
T = 1 f = 2 π ω {\displaystyle T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}\,}

Gerakan Harmonik Mudah

Pengayun Berharmoni ialah

  • suatu sistem mekanikal dimana daya berkadar terus dengan sesaran, iaitu F = − k x {\displaystyle F=-kx\,} dimana k {\displaystyle k\,} ialah pemalar spring.
  • mana-mana sistem yang analogus dengan sistem mekanik ini.

Apabila daya yang pemulih berkadar terus dengan sesaran, maka sistem itu dipanggil Gerakan Harmonik Mudah.

Bagi gerakan harmonik mudah, nilai pemalar redaman adalah kosong dan tiada faktor luar yang mempengaryhi sistem ini. Maka persamaan pembezaannya ialah

d 2 x d t 2 + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0\,}

maka penyelesaian bagi persamaan di atas ialah

x = A c o s ( ω t + ϕ ) {\displaystyle x=Acos(\omega t+\phi )\,}

dimana

ϕ {\displaystyle \phi \,} ialah sudut fasa

maka halajunya ialah

v x = d x d t = − ω A s i n ( ω t + ϕ ) {\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}}=-\omega Asin(\omega t+\phi )\,}

dan pecutannya ialah

a x = d 2 x d t 2 = − ω 2 A c o s ( ω t + ϕ ) {\displaystyle a_{x}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}Acos(\omega t+\phi )\,}

dimana persamaan pecutannya ialah

a x = d 2 x d t = − k m x = − ω 2 x {\displaystyle a_{x}={\frac {d^{2}x}{dt}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x\,}

oleh itu dari persamaan diatas, frekuensi sudut ialah

ω = k m {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}\,}

maka

f = 1 2 π k m {\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}\,}
T = 2 π m k {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}\,}

Tenaga Di Dalam Gerakan Harmonik Mudah

Untuk rencana lanjutan lihat tenaga

Tenaga yang terdapat pada gerakan harmonik mudah ialah

E = 1 2 m v x 2 + 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 = p e m a l a r {\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv_{x}^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}=pemalar\,}

Gerakan Harmonik Mudah Sudut

Mengikut kinematik sudut,

∑ τ z = I α z = I d 2 θ d t 2 = − κ θ {\displaystyle \sum \tau _{z}=I\alpha _{z}=I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-\kappa \theta \,}

Ini adalah anologi dari kinematik linear, dan

I {\displaystyle I\,} ialah momen inersia
κ {\displaystyle \kappa \,} ialah pemalar kilasan dimana
ω = κ I {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}\,} dan f = 1 2 π κ I {\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}\,}

Pengayun Berharmonik Pacuan

Ia adalah penyelesaian bagi formula

d 2 x d t 2 + ω 0 2 x = A 0 c o s ( ω t ) {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=A_{0}cos(\omega t)\,}

Pengayun Teredam

Bagi pengayun teredam, persamaan pembezaannya ialah

∑ F x = m a x = − k x − b v x = − k x − b d x d t = m d 2 x d t 2 {\displaystyle \sum F_{x}=ma_{x}=-kx-bv_{x}=-kx-b{\frac {dx}{dt}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\,}

Maka penyelesaian persamaan di atas ialah

x = A e − b 2 m t c o s ( ω ′ t + ϕ ) {\displaystyle x=Ae^{-{\frac {b}{2m}}t}cos(\omega 't+\phi )\,}

dan frekuensi sudut bagi pengayun teredam ialah

ω ′ = k m − b 2 4 m 2 {\displaystyle \omega '={\sqrt {{\frac {k}{m}}-{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}}}\,}

Redaman Genting

Redaman Genting' ialah situasi dimana ω ′ = 0 {\displaystyle \omega '=0\,} . Maka

0 = k m − b 2 4 m 2 {\displaystyle 0={\frac {k}{m}}-{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}\,} atau b = 2 k m {\displaystyle b=2{\sqrt {km}}\,}

Sistem ini tidak lagi berayun dan kembali ke keseimbangan tanpa sebarang ayunan.

Lebih Redaman

'Redaman Lebih' ialah dimana

b > 2 k m {\displaystyle b>2{\sqrt {km}}\,} .

Situasi ini ialah dimana ayunan kembali ke keseimbangan tanpa ayunan tetapi secara perlahan-lahan. Formula untuk sesaran ialah

x = C 1 e − a 1 t + C 2 e − a 2 t {\displaystyle x=C_{1}e^{-a_{1}t}+C_{2}e^{-a_{2}t}\,}

dimana C 1 {\displaystyle C_{1}\,} dan C 2 {\displaystyle C_{2}\,} ialah pemalar.

Kurang Redaman

Bagi redaman kurang

b < 2 k m {\displaystyle b<2{\sqrt {km}}\,}

Sistem bagi redaman kurang berayun dengan amplitud yang semakin berkuranngan.

Lihat Juga

  • Bandul
  • Resonan