Analisis Fourier

Isyarat masa gitar bass bagi not A tali terbuka (55 Hz).
Jelmaan Fourier isyarat masa gitar bass tali terbuka not A (55 Hz), yang dikira dengan https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/ . Analisis Fourier mendedahkan komponen ayunan dan fungsi isyarat.

Dalam matematik, analisis Fourier (English: /ˈfɔərieɪ/) ialah kajian cara fungsi umum boleh diwakili atau dianggarkan dengan jumlah fungsi trigonometri yang lebih ringkas. Analisis Fourier berkembang daripada kajian siri Fourier, dan dinamakan sempena Joseph Fourier, yang menunjukkan bahawa mewakili fungsi sebagai sejumlah fungsi trigonometri dapat memudahkan kajian pemindahan haba.

Hari ini, subjek analisis Fourier merangkumi spektrum luas matematik. Dalam bidang sains dan kejuruteraan, proses penguraian fungsi kepada komponen ayunan sering dipanggil analisis Fourier, manakala operasi untuk membina semula fungsi dari serpihan ini dikenali sebagai sintesis Fourier. Sebagai contoh, menentukan apa frekuensi komponen yang terdapat di dalam nota muzik akan melibatkan pengiraan jelmaan Fourier sampel nota muzik. Seseorang itu kemudian boleh mensintesis semula bunyi yang sama dengan memasukkan komponen frekuensi seperti yang dinyatakan dalam analisis Fourier. Dalam matematik, istilah analisis Fourier sering merujuk kepada kajian kedua-dua operasi.

Proses penguraian itu sendiri dipanggil transformasi Fourier. keluarannya, jelmaan Fourier, sering diberi nama yang lebih khusus, yang bergantung kepada domain dan ciri lain bagi fungsi yang sedang diubah. Selain itu, konsep asal analisis Fourier telah dilanjutkan dari masa ke masa untuk digunapakai kepada lebih banyak keadaan abstrak dan umum, dan bidang umum sering dikenali sebagai analisis harmonik. Setiap jelmaan yang digunakan untuk analisi (lihat senarai jelmaan berkaitan Fourier) mempunyai yang sama songsang jelmaan yang boleh digunakan untuk sintesis.

Am

Ia juga merupakan proses matematik yang digunakan untuk memecahkan masalah bentuk gelombang kompleks dengan menguraikan gelombang itu menjadi komponen sinusoidnya. Setiap bentuk gelombang yang kompleks dapat ditunjukkan terjadi daripada sejumlah gelombang sinus murni yang terdiri daripada suatu gelombang sinus dasar ditambah harmonik-harmonik khusus gelombang itu. Sebagai contoh, dengan menambahkan harmonik gasal pada sebuah gelombang sinus (iaitu 3f, 5f, 7f, dst.) akan memperoleh gelombang persegi. Seri Fourier umum dapat digunakan untuk menggambarkan fungsi berkala apapun ditentukan oleh:

f ( t ) = a o + ∑ n = 1 ∞ a n cos n ω t + ∑ n = 1 ∞ b n sin n ω t {\displaystyle {\begin{aligned}f(t)=a_{o}&+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,\cos \,n\omega \,\!t\\&+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,\sin \,n\omega \,\!t\end{aligned}}} dan disini an dan bn adalah pekali-pekali yang akan dinilai untuk pelbagai jenis harmonik. a n = 2 T ∫ − T 2 + T 2 f ( t ) cos n ω t {\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {+T}{2}}f(t)\cos \,n\omega \,\!t}

b n = 2 T ∫ − T 2 + T 2 f ( t ) sin n ω t {\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {+T}{2}}f(t)\sin \,n\omega \,\!t} yang disini ω = 2 π T {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}} dan T {\displaystyle T} adalah waktu periodik. Suku DC adalah a o = 2 T ∫ − T 2 + T 2 f ( t ) δ t {\displaystyle a_{o}={\frac {2}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {+T}{2}}f(t)\delta \,\!t} Perhatikan bahawa jika F ( t ) = f ( − t ) {\displaystyle F(t)=f(-t)} maka fungsi itu adalah genap, yang memberikan simetri terhadap asal dan kemudian hanya suku-suku kosinus yang muncul. Sebaliknya jika F ( t ) = f ( − t ) {\displaystyle F(t)=f(-t)} maka fungsi adalah gasal dan hanya suku-suku kosinus yang muncul.

Bentuk gelombang DC Dasar Ke-2 Ke-3 Ke-4 Ke-5 Ke-6 Ke-7
Persegi - + 4 E π {\displaystyle +{\frac {4E}{\pi }}} - − 4 E 3 π {\displaystyle -{\frac {4E}{3\pi }}} - + 4 E 5 π {\displaystyle +{\frac {4E}{5\pi }}} - − 4 E 7 π {\displaystyle -{\frac {4E}{7\pi }}}
Segitiga - + 8 E π 2 {\displaystyle +{\frac {8E}{\pi ^{2}}}} - + 8 E ( 3 π ) 2 {\displaystyle +{\frac {8E}{(3\pi )^{2}}}} - + 8 E ( 5 π ) 2 {\displaystyle +{\frac {8E}{(5\pi )^{2}}}} - + 8 E ( 7 π ) 2 {\displaystyle +{\frac {8E}{(7\pi )^{2}}}}
Gigi gergaji - + 2 E π {\displaystyle +{\frac {2E}{\pi }}} − 2 E 2 π {\displaystyle -{\frac {2E}{2\pi }}} + 2 E 3 π {\displaystyle +{\frac {2E}{3\pi }}} − 2 E 4 π {\displaystyle -{\frac {2E}{4\pi }}} + 2 E 5 π {\displaystyle +{\frac {2E}{5\pi }}} − 2 E 6 π {\displaystyle -{\frac {2E}{6\pi }}} + 2 E 7 π {\displaystyle +{\frac {2E}{7\pi }}}

Aplikasi

Analisis Fourier mempunyai banyak aplikasi saintifik – dalam fizik, persamaan pembezaan separa, teori nombor, kombinatorik, pemprosesan isyarat, pengimejan, teori kebarangkalian, statistik, forensik, pilihan harga, kriptografi, analisis berangka, akustik, oseanografi, sonar, optik, pembelauan, geometri, analisis struktur protein, dan lain-lain.

Kebolehgunaan luas ini berpunca daripada banyak ciri-ciri berguna daripada jelmaan:

  • Jlmaan adalah pengendali linear dan, dengan penormalan yang betul, adalah unitari dan (ciri yang dikenali sebagai teorem Parseval atau, lebih umum, sebagai teorem Plancherel, dan paling umumnya melalui kedualan Pontryagin) (Rudin 1990).
  • Jelmaan biasanya disongsangkan.
  • Fungsi eksponen adalah fungsi eigen daripada pembezaan, yang bermaksud bahawa perwakilan jelmaan persamaan pembezaan linear ini dengan pekali malar kepada algebra biasa (Evans 1998). Oleh itu, tingkah laku sistem linear tak berubah masa boleh dianalisis pada setiap frekuensi bebas.
  • Oleh teorem konvolusi, jelmaan Fourier menukar operasi konvolusi rumit ke dalam pendaraban mudah, yang bermaksud bahawa mereka menyediakan cara yang cekap untuk mengira operasi berasaskan konvolusi seperti pendaraban polinomial dan mendarabkan jumlah yang besar (Knuth 1997).
  • Jelmaan Fourier versi diskret (lihat di bawah) boleh dinilai dengan cepat pada komputer yang menggunakan algoritma jelmaan Fourier pantas (FFT). (Conte & de Boor 1980)