기하학 에서 3차원 초구 (三次元超球, 영어: 3-sphere , glome )는 4차원 공간 속의 단위 벡터로 구성된 리만 다양체 이다. 그 위에는 리 군 SU(2)의 구조를 줄 수 있다.
정의 3차원 초구는 다음과 같이 대칭 공간 을 이룬다.
S 3 ≅ SU ( 2 ) ≅ Sp ( 1 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)} S 3 ≅ SO ( 4 ) / SO ( 3 ) {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\cong \operatorname {SO} (4)/\operatorname {SO} (3)} 또한, S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 는 노름 1의 사원수 의 공간으로 여길 수 있다.
S 3 = { x ∈ H : ‖ x ‖ = 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}=\{x\in \mathbb {H} \colon \|x\|=1\}} 리만 구 S 2 ≅ P C 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\cong \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} 위의 정칙 선다발 O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} 에 대응하는 U(1) 주다발의 전체 공간은 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 와 동형이다. 이는 호프 올다발
S 1 ↪ S 3 ↠ S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}} 을 정의한다.
성질 좌표계 3차원 초구 위에는 여러 개의 유용한 좌표계들이 존재한다.
구면 좌표계 3차원 초구 위에는 구면 좌표계 를 사용할 수 있다. 즉, 좌표 ( ψ , θ , ϕ ) {\displaystyle (\psi ,\theta ,\phi )} 에 대하여
ψ ∈ [ 0 , π ] {\displaystyle \psi \in [0,\pi ]} θ ∈ [ 0 , π ] {\displaystyle \theta \in [0,\pi ]} ϕ ∈ R / 2 π Z {\displaystyle \phi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} } 이며, 매장 S 3 ↪ R 4 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{4}} 은 다음과 같다.
( ψ , θ , ϕ ) ↦ ( cos ψ , sin ψ cos θ , sin ψ sin θ cos ϕ , sin ψ sin θ sin ϕ ) {\displaystyle (\psi ,\theta ,\phi )\mapsto (\cos \psi ,\sin \psi \cos \theta ,\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,\sin \psi \sin \theta \sin \phi )} 이 좌표계에서 3차원 초구의 리만 계량 은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다.
d s 2 = d ψ 2 + sin 2 ψ ( d θ 2 + sin 2 θ d ϕ 2 ) {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} \psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}\right)} 부피 형식 은 다음과 같다.
ω = sin 2 ψ sin θ d ψ ∧ d θ ∧ d ϕ {\displaystyle \omega =\sin ^{2}\psi \sin \theta \mathrm {d} \psi \wedge \mathrm {d} \theta \wedge \mathrm {d} \phi } 호프 좌표계 3차원 초구 위의 호프 좌표계 (Hopf座標系, 영어: Hopf coordinate system ) ( η , ξ , ξ ′ ) {\displaystyle (\eta ,\xi ,\xi ')} 는 다음과 같다.[1] :§2,§8
ξ , ξ ′ ∈ R / ( 2 π Z ) {\displaystyle \xi ,\xi '\in \mathbb {R} /(2\pi \mathbb {Z} )} η ∈ [ 0 , π / 2 ] {\displaystyle \eta \in [0,\pi /2]} 매장 S 3 ↪ C 2 ≅ R 4 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{4}} 은 다음과 같다.
( η , ξ , ξ ′ ) ↦ ( cos η exp ( i ξ ) , sin η exp ( i ξ ′ ) ) {\displaystyle (\eta ,\xi ,\xi ')\mapsto \left(\cos \eta \exp(\mathrm {i} \xi ),\sin \eta \exp(\mathrm {i} \xi ')\right)} 이 좌표계에서 3차원 초구의 리만 계량 은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다.
d s 2 = d η 2 + cos 2 η d ξ 2 + sin 2 η d ξ ′ 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} \eta ^{2}+\cos ^{2}\eta \,\mathrm {d} \xi ^{2}+\sin ^{2}\eta \,\mathrm {d} {\xi '}^{2}} 부피 형식 은 다음과 같다.
ω = sin η cos η d η ∧ d ξ ∧ d ξ ′ {\displaystyle \omega =\sin \eta \cos \eta \,\mathrm {d} \eta \wedge \mathrm {d} \xi \wedge \mathrm {d} \xi '} 이 좌표계에서, 호프 올다발 은 다음과 같다.
S 3 ↠ S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}} ( η , ξ , ξ ′ ) ↦ ( 2 η , ξ − ξ ′ ) {\displaystyle (\eta ,\xi ,\xi ')\mapsto (2\eta ,\xi -\xi ')} 여기서 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 위의 좌표는 구면 좌표계이다. 즉,
z = exp ( i ξ ) sin η {\displaystyle z=\exp(\mathrm {i} \xi )\sin \eta } z ′ = exp ( i ξ ′ ) cos η {\displaystyle z'=\exp(\mathrm {i} \xi ')\cos \eta } 라고 적으면,
cos ( 2 η ) = | z | 2 − | z ′ | {\displaystyle \cos(2\eta )=|z|^{2}-|z'|} sin ( 2 η ) exp ( i ( ξ − ξ ′ ) ) = 2 z z ′ ¯ {\displaystyle \sin(2\eta )\exp(\mathrm {i} (\xi -\xi '))=2z{\bar {z'}}} 이므로
( z , z ′ ) ↦ ( | z | 2 − | z ′ | 2 , 2 z z ′ ¯ ) {\displaystyle (z,z')\mapsto (|z|^{2}-|z'|^{2},2z{\bar {z'}})} 가 되며,
( | z | 2 − | z ′ | 2 ) 2 + | 2 z z ′ ¯ | 2 = ( | z | 2 + | z ′ | 2 ) 2 = 1 {\displaystyle (|z|^{2}-|z'|^{2})^{2}+|2z{\bar {z'}}|^{2}=(|z|^{2}+|z'|^{2})^{2}=1} 이 된다.
군의 작용 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 위에는 리 군 O ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {O} (4)} 가 작용한다. 그 가운데 SO ( 4 ) ≅ SU ( 2 ) × SU ( 2 ) / { ( 1 , 1 ) , ( − 1 , − 1 ) } {\displaystyle \operatorname {SO} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)/\{(1,1),(-1,-1)\}} 은 SU(2)의, 스스로 위의 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 작용에 해당한다.
호프 올다발로 인하여, S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 는 S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 위의 U(1) 주다발 을 이루며, 이는 O ( 3 ) × U ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {O} (3)\times \operatorname {U} (1)} 의 작용을 정의한다. 이는 O ( 4 ) {\displaystyle \operatorname {O} (4)} 의 부분군이다.
연속 함수 리 군 SU(2)의 곱셈 연산에 해당하는 매끄러운 함수
S 3 × S 3 → S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to \mathbb {S} ^{3}} 가 존재한다. 이는 노름 1의 사원수의 곱셈으로 생각할 수도 있다.
미분 형식 호프 올다발 에 의하여, S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} 의 부피 형식을 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} 에 당길 수 있다. 이는 물론 2차 완전 미분 형식 이다. 이는 호프 올다발의 U(1)×SO(3) 대칭 가운데 U(1)의 작용에 대하여 불변이다.
각주 ↑ Yershova, Anna; Jain, Swati; LaValle,, Steven M.; Mitchell, Julie C. (2010년 6월). “Generating uniform incremental grids on SO(3) using the Hopf fibration” (PDF) . 《The International Journal of Robotics Research》 (영어) 26 (7). doi :10.1177/0278364909352700. PMC 2896220. 외부 링크 Weisstein, Eric Wolfgang. “Glome”. 《Wolfram MathWorld 》 (영어). Wolfram Research. “3-sphere”. 《nLab》 (영어).