立方根

立方根（りっぽうこん、cubic root、root of third power）とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根（さんじょうこん）ともいう。

定義

積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x3 を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立（かいりゅう）という。

a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを a 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}} と表す。

性質

  • 正の数 a {\displaystyle a} に対して、
    − a 3 = − a 3 . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-a}}=-{\sqrt[{3}]{a}}.}
  • 1 {\displaystyle 1} の虚立方根の一つを ω {\displaystyle \omega } とすると、もう一つの虚立方根は ω 2 {\displaystyle \omega ^{2}} であり、 ω {\displaystyle \omega } , ω 2 {\displaystyle \omega ^{2}} はともに 1 の原始冪根である。また、 1 + ω + ω 2 = 0 {\displaystyle 1+\omega +\omega ^{2}=0} が成り立つ。
1 , ω = − 1 2 + 3 2 i , ω 2 = − 1 2 − 3 2 i = ω ¯ . {\displaystyle 1,\quad \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad \omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i={\overline {\omega }}.}
ω = exp ⁡ ( i ⋅ ( 2 π 3 + 2 k π ) ) , ω 2 = exp ⁡ ( i ⋅ ( 4 π 3 + 2 k π ) ) , ω ¯ = exp ⁡ ( i ⋅ ( − 2 π 3 + 2 k π ) ) . {\displaystyle \omega =\exp \left(i\cdot \left({\frac {2\pi }{3}}+2k\pi \right)\right),\quad \omega ^{2}=\exp \left(i\cdot \left({\frac {4\pi }{3}}+2k\pi \right)\right),\quad {\overline {\omega }}=\exp \left(i\cdot \left({\frac {-2\pi }{3}}+2k\pi \right)\right).}
ω + 1 = exp ⁡ ( i ⋅ ( π 3 + 2 k π ) ) = − ω 2 , ω ¯ + 1 = exp ⁡ ( i ⋅ ( − π 3 + 2 k π ) ) = − ω . {\displaystyle \omega +1=\exp \left(i\cdot \left({\frac {\pi }{3}}+2k\pi \right)\right)=-\omega ^{2},\quad {\overline {\omega }}+1=\exp \left(i\cdot \left({\frac {-\pi }{3}}+2k\pi \right)\right)=-\omega .}
1 ω = ω 2 , 1 ω 2 = ω . {\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\omega ^{2},\quad {\frac {1}{\omega ^{2}}}=\omega .}
  • α {\displaystyle \alpha } が 0 {\displaystyle 0} でない複素数ならば、 α {\displaystyle \alpha } の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点 O {\displaystyle O} を中心とする半径 | α | 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{|\alpha |}}} の円に内接する正三角形の頂点になる。

具体的な数

複素数

複素数の冪根の幾何学的表現

複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とする。

z 1 3 = exp ⁡ ( 1 3 ln ⁡ z ) . {\displaystyle z^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {z}\right).} 9 3 = 2.0800838230 ⋯ {\displaystyle {\sqrt[{3}]{9}}=2.0800838230\cdots }

極形式では

z = r exp ⁡ ( i θ ) {\displaystyle z=r\exp(i\theta )\,}

ここで rは非負の実数、 θ {\displaystyle \theta } の定義域は以下とする（偏角は多価関数のため）。

− π < θ ≤ π {\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi } ,
z 3 = r 3 exp ⁡ ( i θ 3 ) . {\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}

− 8 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}} は 1 + 3 i {\displaystyle 1+{\sqrt {3}}i} （ = 8 3 e π i 3 {\displaystyle ={\sqrt[{3}]{8}}e^{\frac {\pi i}{3}}} ） が主要根となる（-2（ = ( 1 + 3 i ) e 2 π i 3 {\displaystyle =(1+{\sqrt {3}}i)e^{\frac {2\pi i}{3}}} ）ではない）。

主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。

− π 3 < θ 3 ≤ π 3 {\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}<{\frac {\theta }{3}}\leq {\frac {\pi }{3}}}
単位円での例

z 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}} と − z 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-z}}} の主要根の関係を単位円上で示すと（ ℑ ( z ) ≥ 0 {\displaystyle \Im (z)\geq 0} 、偏角 θ = 21 ∘ {\displaystyle \theta =21^{\circ }} の例）

z 3 = cos ⁡ 21 ∘ + i sin ⁡ 21 ∘ 3 = cos ⁡ 7 ∘ + i sin ⁡ 7 ∘ {\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{\cos 21^{\circ }+i\sin 21^{\circ }}}=\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ }}
− z 3 = − cos ⁡ 21 ∘ − i sin ⁡ 21 ∘ 3 = cos ⁡ ( − 159 ∘ ) + i sin ⁡ ( − 159 ∘ ) 3 = cos ⁡ ( − 53 ∘ ) + i sin ⁡ ( − 53 ∘ ) = − ω ( cos ⁡ 7 ∘ + i sin ⁡ 7 ∘ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{-z}}={\sqrt[{3}]{-\cos 21^{\circ }-i\sin 21^{\circ }}}=&{\sqrt[{3}]{\cos(-159^{\circ })+i\sin(-159^{\circ })}}\\=&\cos(-53^{\circ })+i\sin(-53^{\circ })\\=&-\omega (\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ })\end{aligned}}}

脚注

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関連項目

Project:数学
プロジェクト 数学
Portal:数学
ポータル 数学

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Cube Root". mathworld.wolfram.com (英語).