合成数

合成数（ごうせいすう、英: Composite number）は、自然数で、1とその数自身以外の約数を持つ数である^[1]。

概要

2つ以上の素数の積で表すことのできる自然数と定義してもよい。

例えば、15は1と15自身以外に3と5を約数に持つ（または 3×5 と素数の積で表される）ので合成数である。

約数は3個以上となる。

最小の素数は2であり、これを2乗した4が最小の合成数となる。合成数は無数にあり、4から小さい順に列記すると次のようになる。

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, …(オンライン整数列大辞典の数列 A002808)

素数を2乗した数は1つしか素因数を持たないが、9 = 3×3 のように2つの素数の積で表せる合成数である。 このような数は4から順に列記するとこのようになる。

4、9、25、49、121、169、289、361、529、841、961、1369、1681の順。

合成数はおおよそ「素数でない自然数」と考えられる。

ただし自然数の内 1 は合成数や素数ではない。また自然数に 0 を含む場合は 0 も合成数や素数ではない。

言い換えれば、「1 と素数と合成数から自然数が構成される」とも捉えることが出来る。解釈によっては、これに 0 を加える。

数学的性質

• 4以上の全ての偶数は合成数である。6以上の全ての偶数は最低4個の約数を持つ。
• 6以上の数では一の位が 0, 2, 4, 5, 6, 8 であれば全て合成数である。
• 10以上の数で数字和が3の倍数となる数（21、27、33、39、51、57、63、69、81、87、93、99等）は全て合成数である。
• ${\displaystyle (n-1)!\,\,\,\equiv \,\,0{\pmod {n}}}$　6 ≦ n である合成数 n はこの式を満たす。
  詳細は「ウィルソンの定理」を参照
• 合成数は少なくとも3個の約数を持つ。また素数の2乗以外の合成数は最低4個の約数を持つ。最少個の約数を持つ合成数は素数 p を2乗した p² で、1, p, p² の3つがその約数である。
• 3番目以降の多角数は合成数である。また、完全数や過剰数も全て合成数である。
• 任意の自然数 n に対して、連続する n 個の合成数を自然数列から取り出すことができる。
  • (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, …, (n + 1)! + (n + 1) は連続する n 個の合成数である。
• 10進数では、8以上のハーシャッド数は全て合成数である。また、8以上でレピュニットでないズッカーマン数も全て合成数である。

脚注

関連項目

ウィクショナリーに関連の辞書項目があります。

合成数

• 高度合成数
• 素数
• 半素数
• 楔数
• 数字和
• 完全数
• 友愛数
• 社交数
• 過剰数

表 話 編 歴 被整除性に基づいた整数の集合
概要	素因数分解 約数 単約数 約数関数 素因数 算術の基本定理
因数分解による分類	素数 合成数 半素数 矩形数 楔数 平方因子をもたない整数 多冪数 累乗数 アキレス数 滑らかな数（英語版） ハミング数（英語版） 粗い数（英語版） 異常数（英語版）
約数和による分類	完全数 概完全数 準完全数 倍積完全数 Hemiperfect number（英語版） ハイパー完全数 超完全数 単完全数（英語版） 擬似完全数 プラクティカル数 エルデシュ・ニコラス数（英語版）
約数が多いもの	過剰数 原始過剰数（英語版） 高度過剰数 超過剰数 巨大過剰数 高度合成数 優高度合成数（英語版） 不思議数
アリコット数列関連	アンタッチャブル数（英語版） 友愛数 (友愛三数（英語版）) 社交数 婚約数
位取り記法に基づくもの	Equidigital number（英語版） Extravagant number（英語版） Frugal number（英語版） ハーシャッド数 Polydivisible number（英語版） スミス数
その他	Arithmetic number（英語版） 不足数 Friendly number（英語版） Solitary（英語版） サブライム数 調和数 デカルト数（英語版） タウ数 超完全数