全正値行列

数学において、全正値行列（ぜんせいちぎょうれつ、英: totally positive matrix）とは、そのすべての小行列式の値が正となる正方行列をいう[1]。全正値行列のすべての成分は正であり、正行列でもある。また、すべての主小行列式が正（および、そのすべての固有値が正）であり、対称全正値行列は正定値行列でもある。全非負行列も同様に、すべての小行列式の値が非負（正もしくは0）である正方行列のことと定義される。"全正値"を"全非負"の意味で用いる場合もある。

意味

n × n 行列 A = ( A i j ) i j {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=(A_{ij})_{ij}} とする。任意の p ∈ { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle p\in \{1,2,\dotsc ,n\}} につき、任意のp × p部分行列 B = ( A i k j ℓ ) k ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=(A_{i_{k}j_{\ell }})_{k\ell }} を以下の条件の下で取ることとする：

1 ≤ i 1 < … < i p ≤ n , 1 ≤ j 1 < … < j p ≤ n . {\displaystyle 1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n,\qquad 1\leq j_{1}<\ldots <j_{p}\leq n.}

以下が成り立つとき、Aは全正値行列である[2]。

det ( B ) > 0 {\displaystyle \det({\boldsymbol {B}})>0}

歴史

全正値性の理論の発展につながった歴史的なトピックには、以下の研究が含まれる： [2]

  • 全正値カーネルと全正値行列のスペクトル特性に関する研究
  • グリーン関数が全正値であるような常微分方程式（MGケリンと何人かの同僚による1930年代半ばの研究）
  • variation diminishing propertiesI. J. Schoenbergによって1930年に開始された）に関する研究
  • （Iriation diminishing propertiesJシェーンベルグによって1930年に開始された）研究
  • ポリア周波数関数（1940年代後半から1950年代初頭のIJシェーンベルグによる）。

例

たとえば、ノードが正で、かつ増加しているヴァンデルモンドの行列式は全正値行列である。

脚注

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  1. ^ George M. Phillips (2003), “Total Positivity”, Interpolation and Approximation by Polynomials, Springer, p. 274, ISBN 9780387002156 
  2. ^ a b Spectral Properties of Totally Positive Kernels and Matrices, Allan Pinkus

参照

  • Compound matrix

参考文献

  • Spectral Properties of Totally Positive Kernels and Matrices, Allan Pinkus
  • Parametrizations of Canonical Bases and Totally Positive Matrices, Arkady Berenstein
  • Tensor Product Multiplicities, Canonical Bases And Totally Positive Varieties (2001), A. Berenstein , A. Zelevinsky