一般のライプニッツの法則

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定義
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数学の微分積分学において一般化されたライプニッツの法則 (generalized Leibniz rule), 一般のライプニッツの法則（いっぱんのライプニッツのほうそく、英: general Leibniz rule[1]；一般ライプニッツ則）あるいは単にライプニッツの法則は、積の法則（これもまたライプニッツの法則と呼ばれる）の一般化であり、f, g を n回微分可能な関数とするとき、それらの積 fg の n階微分が

( f g ) ( n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( k ) g ( n − k ) {\displaystyle (fg)^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}}

で与えられることを述べるものである。ここで (n
k) は二項係数である。ドイツの哲学者・数学者のゴットフリート・ライプニッツの名に因む。

この法則は、積の法則と数学的帰納法を用いることで証明できる。

例

n = 1 のとき (積の微分法則)
( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}
n = 2 のとき
( f g ) ″ = f ″ g + 2 f ′ g ′ + f g ″ {\displaystyle (fg)''=f''g+2f'g'+fg''}
n = 3 のとき
( f g ) ‴ = f ‴ g + 3 f ″ g ′ + 3 f ′ g ″ + f g ‴ {\displaystyle (fg)'''=f'''g+3f''g'+3f'g''+fg'''}

各項の係数は二項定理と同様に二項係数となり、パスカルの三角形から求めることができる。

多因子版

f1, …, fm が m個の n階微分可能函数のとき、

( f 1 f 2 ⋯ f m ) ( n ) = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) f 1 ( k 1 ) f 2 ( k 2 ) ⋯ f m ( k m ) {\displaystyle (f_{1}f_{2}\dotsm f_{m})^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}}}f_{1}^{(k_{1})}f_{2}^{(k_{2})}\dotsm f_{m}^{(k_{m})}}

と書ける。

ここで、 ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\dotsm k_{m}!}}} は多項係数である。

「多項定理」も参照

多変数版

多重指数記法を使い、より一般に

∂ α ( f g ) = ∑ β ≤ α ( α β ) ( ∂ α − β f ) ( ∂ β g ) {\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\beta }}(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g)}

の形に規則を述べることもできる。この式は、微分作用素の合成の表象を計算する公式の導出に用いられる。実は、P, Q を（係数が十分多くの回数微分可能であるような）微分作用素とし、R ≔ P ∘ Q とするとき、R もまた微分作用素であり、R の表象が R ( x , ξ ) = e − ⟨ x , ξ ⟩ R ( e ⟨ x , ξ ⟩ ) {\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle })} で与えられるから、ここに直接計算によって

R ( x , ξ ) = ∑ α 1 α ! ( ∂ ∂ ξ ) α P ( x , ξ ) ( ∂ ∂ x ) α Q ( x , ξ ) {\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi )}

を得る。この公式はふつう、ライプニッツの公式 (Leibniz fomula) と呼ばれる。これを用いて表象の合成が定義できて、表象全体の成す空間には環の構造が入る。

関連項目

注釈

  1. ^ Olver, Applications of Lie groups to differential equations, page 318

外部リンク

  • 『ライプニッツの公式の証明と二項定理』 - 高校数学の美しい物語
  • Weisstein, Eric W. "Leibniz Identity". mathworld.wolfram.com (英語).
  • generalizations of the Leibniz rule - PlanetMath.（英語） / proof of generalized Leibniz rule - PlanetMath.（英語）
  • Leibniz's Rule at ProofWiki