レムニスケート

ベルヌーイのレムニスケートと二つの焦点
ベルヌーイのレムニスケートは、直角双曲線の垂足曲線（英語版）である。

レムニスケート（英: lemniscate）は極座標の方程式

r 2 = 2 a 2 cos ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=2a^{2}\cos 2\theta }

で表される曲線である。連珠形（れんじゅけい）とも呼ばれる。またヤコブ・ベルヌーイのレムニスケートとも呼ばれる。カッシーニの卵形線の一種と見なすことができる。

直交座標の方程式では

( x 2 + y 2 ) 2 − 2 a 2 ( x 2 − y 2 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=0}

となる。

x軸、y軸に対して線対称である。原点Oで自らと交わる。原点Oにおける接線はy=x,y=-xとなる。原点Oと 2 a , − 2 a {\displaystyle {\sqrt {2}}a,-{\sqrt {2}}a} でx軸と交わる（以下、この二点を「交点」と呼ぶ）。点 (±a, 0) は、レムニスケートの焦点（英：focus, -ci）と呼ばれる。レムニスケート上では、「任意の点と一方の焦点との距離」と「その任意の点ともう一方の焦点との距離」の積は一定である。直角双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡はレムニスケートになる。また、中心が直角双曲線上にあり、なおかつ原点を通る円の包絡線はレムニスケートになる。

ループ1つで囲まれる面積は a 2 {\displaystyle a^{2}} であり、2つ合わせて 2 a 2 {\displaystyle 2a^{2}} となる。曲線の弧長は楕円積分によって表される。

レムニスケートはベルヌーイ兄弟によって最初に発見され、イタリアの数学者ファニャーノによって楕円積分論の事例として詳しく研究された。オイラーはファニャーノの『数学論文集』に刺激を受け、微分方程式論の研究を発展させ、独自の楕円積分論を構築した。

関連項目

外部リンク

ウィキメディア・コモンズには、レムニスケートに関連するカテゴリがあります。
  • ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『レムニスケート』 - コトバンク
  • Weisstein, Eric W. "Lemniscate". mathworld.wolfram.com (英語).
  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Lemniscate of Bernoulli”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Lemniscate/ . （英語）
  • "Lemniscate de Bernoulli" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables （フランス語）
  • Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli （フランス語）