リー対応(英語版)のため,理論は,したがってリー環の拡大の歴史は,群の拡大の理論と歴史と密接に関係している.群の拡大の系統的な研究はオーストリアの数学者オットー・シュライアー(英語版) (Otto Schreier) によって1923年の彼の PhD 論文(後に出版)においてなされた[nb 1][6][7].オットー・ヘルダー (Otto Hölder) によってシュライアーの論文のために出された問題は次のものであった:「2つの群 G と H が与えられたとき,群 E であって G と同型な正規部分群N を持ち剰余群E/N が H と同型であるものをすべて求めよ.」
g の中心拡大 e が与えられると,g 上の 2-コサイクルを構成できる.e を g の h による中心拡大とする.l を g から e への線型写像であって s ∘ l = Idg という性質を持つもの,すなわち s のセクションとする.このセクションを用いて ε: g × g → e を次で定義する:
写像 ε は
を満たす.これを見るには,左辺で ε の定義を用い,それから l の線型性を用いる.g 上のヤコビの恒等式を用い,6つの項のうち半分を取り除く.Use the definition of ε again on terms l[Gi,Gj] sitting inside three Lie brackets, bilinearity of Lie brackets, and the Jacobi identity on e, and then finally use on the three remaining terms that Im ε ⊂ ker s and that ker s ⊂ Z(e) so that ε(Gi, Gj) brackets to zero with everything. It then follows that φ = i−1 ∘ ε satisfies the corresponding relation, and if h in addition is one-dimensional, then φ is a 2-cocycle on g (via a trivial correspondence of h with the underlying field).
中心拡大
が普遍とは,任意の他の中心拡大
に対して,準同型 Ψ, Φ が存在して,図式
が可換になること,すなわち i′ ∘ Ψ = Φ ∘ i, s′ ∘ Φ = s となることをいう.
によって定義される.これらの定義により,h × g ≡ h ⊕ g は F 上のベクトル空間である.リーブラケット
(3)
により,e はリー環である.さらに
と定義する.(1) が完全列として成り立つことは明らかである.g の h によるこの拡大は自明な拡大と呼ばれる.これはもちろん,リー環の直和に他ならない.定義の対称性により,e は h の g による拡大でもあるが,h ⊕ g ≠ g ⊕ h である.(3) から部分環 0 ⊕ g がイデアルであることは明らかである.リー環の直和のこの性質は自明な拡大の定義に昇格する.
半直和により
準同型 G → Aut(H) を用いた群の半直積(背景)の構成に触発されて,リー環の対応する構成を作ることができる.
ψ: g → der h がリー環の準同型であるとき,e = h ⊕ g 上のリーブラケットを
(7)
で定義する.このリーブラケットにより得られるリー環は e = h ⊕Sg と書かれ,h と g の半直和と呼ばれる.
(7) を検査して 0 ⊕ g は e の部分環であり h ⊕ 0 は e のイデアルであることが分かる.i: h → e を H ↦ H ⊕ 0 によって,s: e → g を H ⊕ G ↦ G, H ∈ h, G ∈ g によって定義する.ker s = im i は明らかである.したがって e は g の h による拡大である.
自明な拡大と同様に,この性質は分裂拡大の定義に一般化する.
例
G をローレンツ群O(3, 1) とし,T を (ℝ4, +) と同型な4次元の平行移動群とし,ポワンカレ群P の乗法規則を考える:
(ただし T と SO(3, 1) は P におけるそれらの像と同一視される).ポワンカレ群において (0, Λ)(a, I)(0, Λ−1) = (Λ a, I) ∈ T ⊂ P であることが直ちに従う.したがってすべてのローレンツ変換 Λ は逆写像が ΦΛ−1 の T の自己同型 ΦΛ に対応し,Φ は明らかに準同型である.さて
δ を g の導分(背景)とし,h で δ で張られる1次元リー環を表す.e = h ⊗ g 上のリーブラケットを
によって定義する[nb 2].ブラケットの定義から g が e のイデアルで h が e の部分環であることは明らかである.さらに,h は e において g に complementary である.i: h → e を H ↦ (H, 0) で与え,s: e → g を (H, G) ↦ G で与える.im i = ker s は明らかである.したがって e は g の h による分裂拡大である.そのような拡大は導分による拡大と呼ばれる.
2-コサイクルにより
ε がリー環 g 上の 2-コサイクル(背景)で,h が任意の1次元ベクトル空間であるとき,e = h ⊕ g(線型直和)とし,e 上のリーブラケットを
で定義する.ここで H は h の任意に1つ固定された元である.反対称性は g 上のリーブラケットの反対称性と 2-コサイクルの反対称性から従う.ヤコビ律は g と ε の対応する性質から従う.したがって e はリー環である.G1 = 0 とおき,μH ∈ Z(e) が従う.また,i: μH ↦ (μH, 0) と s: (μH, G) ↦ G により Im i = ker s = {(μH, 0):μ ∈ F} ⊂ Z(e) が従う.したがって e は g の h による中心拡大である.それは 2-コサイクルによる拡大と呼ばれる.
任意の中心拡大は 2-コサイクル φ から来るから,任意の 2-コサイクルがコバウンダリであることを示せばよい.φ を g 上の 2-コサイクルとする.やるべきはこの 2-コサイクルを用いて φ = δf なる 1-コチェイン f を作り出すことである.
最初の段階は各 GG1 ∈ g に対して φ を用いて線型写像 ρG1: g → F を定義することである.しかし線型写像は g∗ の元である.同型 ν を用いて φ を K のことばで書けば十分である.次に,導分であると判明する線型写像 d: g → g が定義される.すべての導分は内部だから,ある Gd ∈ g に対して d = adGd である.K と d による φ の表示が得られた.したがって,d が導分であることを信じて,次のようにおく:
f を
で定義された 1-コチェインとする.すると
であり,φ はコバウンダリである.前の結果により,任意の中心拡大は自明である.
d が導分であることの証明
d が実際に導分であることを確かめるには,まず,それは ν が線型だから線型であることに注意して,次を計算する:
K の非退化性により,最左辺と最右辺で K の左の引数は等しい.
対称非退化結合形式 K と 2-コサイクル φ が与えられると,導分 d を
によって,あるいは K の対称性と φ の反対称性を用いて
によって定義できるという観察は系を導く.
系
L: g × g → F を非退化対称結合的双線型形式とし,d を導分であって
を満たすものとすると,
によって定義される φ は 2-コサイクルである.
証明
d についての条件は φ の反対称性を保証する.2-コサイクルのヤコビ律は,
からはじめて,形式の対称性とブラケットの反対称性と,再び L のことばでの φ の定義を用いて,従う.
g がリー群 G のリー環で e が g の中心拡大であるとき,リー環が e のリー群 E が存在するかどうかを問うことができる.答えは,リーの第三定理(英語版)により,肯定的である.しかしリー環が e の G の"中心拡大" E は存在するだろうか? この問いへの答えはある機械が必要で,Tuynman & Wiegerinck (1987, Theorem 5.4) に見つけることができる.
多項式ループ代数の中心拡大の応用として,量子的場の理論のカレント代数(英語版)が考えられる(背景).Suppose one has a current algebra, with the interesting commutator being
(CA10)
with a Schwinger term. To construct this algebra mathematically, let g be the centrally extended polynomial loop algebra of the previous section with
as one of the commutation relations, or, with a switch of notation (l→m, m→n, i→a, j→b, λm⊗Ga→Tma) with a factor of i under the physics convention,[nb 3]
Define using elements of g,
One notes that
so that it is defined on a circle. Now compute the commutator,
For simplicity, switch coordinates so that y → 0, x → x − y ≡ z and use the commutation relations,
Now employ the Poisson summation formula,
for z in the interval (0, L) and differentiate it to yield
and finally
or
since the delta functions arguments only ensure that the arguments of the left and right arguments of the commutator are equal (formally δ(z) = δ(z − 0) ↦ δ((x −y) − 0) = δ(x −y)).
By comparison with CA10, this is a current algebra in two spacetime dimensions, including a Schwinger term, with the space dimension curled up into a circle. In the classical setting of quantum field theory, this is perhaps of little use, but with the advent of string theory where fields live on world sheets of strings, and spatial dimensions are curled up, there may be relevant applications.
カッツ・ムーディ代数
前の節で 2-コサイクル φ の構成において用いられた導分 d0 は中心拡大された多項式ループ代数,カッツ・ムーディ代数を実現するためここでは g と書く,上の導分 D に拡張できる[14][15](背景).単純に
の形で,m について線型な部分は自明である.それはまた H2(W, C) が 1 次元である(β の選択に対応)ことも示している.慣習的な選択は α = −β = 1/12 と取り任意の対象 C に任意の因子を吸収することによって自由性をなお保持する.するとヴィラソロ代数V は
であり,交換関係は
である.
ボゾン開弦
詳細は「ボゾン的弦理論(英語版)」を参照
The relativistic classical open string (background) is subject to quantization. This roughly amounts to taking the position and the momentum of the string and promoting them to operators on the space of states of open strings. Since strings are extended objects, this results in a continuum of operators depending on the parameter σ. The following commutation relations are postulated in the Heisenberg picture.[16]
All other commutators vanish.
Because of the continuum of operators, and because of the delta functions, it is desirable to express these relations instead in terms of the quantized versions of the Virasoro modes, the Virasoro operators. These are calculated to satisfy
They are interpreted as creation and annihilation operators acting on Hilbert space, increasing or decreasing the quantum of their respective modes. If the index is negative, the operator is a creation operator, otherwise it is an annihilation operator. (If it is zero, it is proportional to the total momentum operator.) In view of the fact that the light cone plus and minus modes were expressed in terms of the transverse Virasoro modes, one must consider the commutation relations between the Virasoro operators. These were classically defined (then modes) as
Since, in the quantized theory, the alphas are operators, the ordering of the factors matter. In view of the commutation relation between the mode operators, it will only matter for the operator L0 (for which m + n = 0). L0 is chosen normal ordered,
where c is a possible ordering constant. One obtains after a somewhat lengthy calculation[17] the relations
If one would allow for m + n = 0 above, then one has precisely the commutation relations of the Witt algebra. Instead one has
upon identification of the generic central term as (D − 2) times the identity operator, this is the Virasoro algebra, the universal central extension of the Witt algebra.
The operator L0 enters the theory as the Hamiltonian, modulo an additive constant. Moreover, the Virasoro operators enter into the definition of the Lorentz generators of the theory. It is perhaps the most important algebra in string theory.[18] The consistency of the Lorentz generators, by the way, fixes the spacetime dimensionality to 26. While this theory presented here (for relative simplicity of exposition) is unphysical, or at the very least incomplete (it has, for instance, no fermions) the Virasoro algebra arises in the same way in the more viable superstring theory and M-theory.
2つのリー群G, H と,H の自己同型群Aut H を考える.後者は H の同型の群である.リー群の準同型 Φ: G → Aut H があれば,各 g ∈ G に対して,ある Φ(g) ≡ Φg ∈ Aut H が存在して,性質 Φgg' = ΦgΦg', g,g' ∈ G を持つ.E で"集合" H × G を表し,乗法を次で定義する:
(4)
このとき E は単位元 (eH, eG) を持つ群であり,逆元は (h, g)−1 = (Φg−1(h−1), g−1) によって与えられる.逆元の式と式 (4) を用いて,H は E において正規であることが分かる.この半直積による群を E = H ⊗SG と書く.
逆に,E = H ⊗SG が群 E の与えられた半直積表示ならば,定義により H は E において正規であり,各 g ∈ G に対して Cg(h) ∈ Aut H, ただし Cg(h) ≡ ghg−1, であり,写像 Φ: g ↦ Cg は準同型である.
さてリー対応を利用しよう.写像 Φg: H → H, g ∈ G はそれぞれ,リー環のレベルで,写像 Ψg: h → h を誘導する.この写像は
(5)
によって計算される.例えば,G と H がともに大きい群 E の部分群であり,Φg = ghg−1 であるとき,
(5')
であり,Ψ を E の h 上の随伴作用Ad を G に制限したものと認識する.さて Ψ: G → Aut h [ ⊂ GL(h) if h is finite-dimensional] は準同型であり[nb 8],もう1度リー対応に訴え,一意的なリー環準同型 ψ: g → Lie(Aut h) = Der h ⊂ gl(h) が存在する[nb 9].この写像は(形式的には)
ここで adG はベクトル空間 g に作用する行列と見なされる.必要な大事な性質は,g が半単純ならばカルタンの判定法(英語版)により K は非退化であるということである.そのような場合 K は g と g∗ を同一視するのに使うことができる.λ ∈ g∗ ならば,ある ν(λ) = Gλ ∈ g が存在して,
ループ群(英語版)は単位円周 S1 からリー群 G への滑らかな写像の群に群構造を G 上の群構造によって定義したものとして取られる.するとループ群のリー環は S1 から G のリー環 g への写像のベクトル空間である.そのようなリー環の任意の部分環はループ代数と呼ばれる.ここでは注意は次の形の多項式ループ代数に当てられる:
リー環の導出
これを見るために,ループ群の元 H に対して G の単位元の近くの元 H(λ) で g の基底 {Gk} で表されたもの
を考える,ただし hk(λ) は実数で小さく,和は g の次元 K を渡る.さて
と書いて
を得る.したがって関数
はリー環を構成する.
少し考えるとこれらは θ が 0 から 2π まで行くとき g 内のループであることが確かめられる.演算は g の演算によって点ごとに定義されるものである.この代数は代数
である.この後者の視点により元は(定数!)係数が g の多項式と考えることができる.基底と構造定数のことばでは,
である.異なる表記
をすることも一般的である,ただし λ の省略は混乱を避けるため心に留めておくべきである;元は実際には関数 S1 → g である.するとリーブラケットは
であり,これは以下で導入される untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数において中心項"なし"の交換関係の1つとして実現可能である.m = n = 0 として,g に同型な部分代数が得られる.(定義をさかのぼることで分かるように)それは S1 から G への定数写像の集合を生成し,これは exp が全射のとき(たとえば G がコンパクトのとき)明らかに)G に同型である.G がコンパクトならば,g の基底 (Gk) を Gk が歪エルミートであるように選ぶことができる.結果として,
である.そのような表現はユニタリと呼ばれる,なぜならば代表元
がユニタリだからである.ここで,T の下の添え字のマイナスは慣習であり,和の規約が使われ,λ は(定義により)右辺の T たちに埋もれている.
カレント代数(物理)
カレント代数は場の量子論において大域的ゲージ対称性の結果として生じる. Conserved currents occur in classical field theories whenever the Lagrangian respects a continuous symmetry. This is the content of Noether's theorem. Most (perhaps all) modern quantum field theories can be formulated in terns of classical Lagrangians (prior to quantization), so Noether's theorem applies in the quantum case as well. Upon quantization, the conserved currents are promoted to position dependent operators on Hilbert space. These operators are subject to commutation relations, generally forming an infinite-dimensional Lie algebra. A model illustrating this is presented below.
To enhance the flavor of physics, factors of i will appear here and there as opposed to in the mathematical conventions.[nb 3]
Consider a column vector Φ of scalar fields (Φ1, Φ2, ..., ΦN). Let the Lagrangian density be
This Lagrangian is invariant under the transformation[nb 10]
where {F1, F1, ..., Fr} are generators of either U(N) or a closed subgroup thereof, satisfying
Noether's theorem asserts the existence of r conserved currents,
where πk0 ≡ πk is the momentum canonically conjugate to Φk. The reason these currents are said to be conserved is because
and consequently
the charge associated to the charge densityJa0 is constant in time.[nb 11] This (so far classical) theory is quantized promoting the fields and their conjugates to operators on Hilbert space and by postulating (bosonic quantization) the commutation relations[25][nb 12]
The currents accordingly become operators[nb 13] They satisfy, using the above postulated relations, the definitions and integration over space, the commutation relations
where the speed of light and the reduced Planck's constant have been set to unity. The last commutation relation does not follow from the postulated commutation relations (these are fixed only for πk0, not for πk1, πk2, πk3), except for μ = 0 For μ = 1, 2, 3 the Lorentz transformation behavior is used to deduce the conclusion. The next commutator to consider is
The presence of the delta functions and their derivatives is explained by the requirement of microcausality that implies that the commutator vanishes when x ≠ y. Thus the commutator must be a distribution supported at x = y.[26] The first term is fixed due to the requirement that the equation should, when integrated over X, reduce to the last equation before it. The following terms are the Schwinger terms. They integrate to zero, but it can be shown quite generally[27] that they must be nonzero.
Existence of Schwinger terms
Consider a conserved current
(S10)
with a generic Schwinger term
By taking the vacuum expectation value (VEV),
one finds
where S10 and Heisenberg's equation of motion have been used as well as H|0⟩ = 0 and its conjugate.
Multiply this equation by f(x)f(y) and integrate with respect to x and y over all space, using integration by parts, and one finds
Now insert a complete set of states, |n⟩
Here hermiticity of F and the fact that not all matrix elements of F between the vacuum state and the states from a complete set can be zero.
なぜならば Ω と U はともに t = 0 において単位元になるからである.位相因子 ξ の説明は,ウィグナーの定理(英語版)を参照.g における基底に対する交換関係
は u において
となるので, u がブラケットで閉じている(したがって実際にリー環である可能性を持つ)ためには,中心電荷I が含まれていなければならない.
Relativistic classical string theory
詳細は「ボソン的弦理論(英語版)」を参照
A classical relativistic string traces out a world sheet in spacetime, just like a point particle traces out a world line. This world sheet can locally be parametrized using two parameters σ and τ. Points xμ in spacetime can, in the range of the parametrization, be written xμ = xμ(σ, τ). One uses a capital X to denote points in spacetime actually being on the world sheet of the string. Thus the string parametrization is given by (σ, τ) ↦(X0(σ, τ), X1(σ, τ), X2(σ, τ), X3(σ, τ)). The inverse of the parametrization provides a local coordinate system on the world sheet in the sense of manifolds.
The equations of motion of a classical relativistic string derived in the Lagrangian formalism from the Nambu–Goto action are[29]
A dot over a quantity denotes differentiation with respect to τ and a prime differentiation with respect to σ. A dot between quantities denotes the relativistic inner product.
These rather formidable equations simplify considerably with a clever choice of parametrization called the light cone gauge. In this gauge, the equations of motion become
the ordinary wave equation. The price to be paid is that the light cone gauge imposes constraints,
so that one cannot simply take arbitrary solutions of the wave equation to represent the strings. The strings considered here are open strings, i.e. they don't close up on themselves. This means that the Neumann boundary conditions have to be imposed on the endpoints. With this, the general solution of the wave equation (excluding constraints) is given by
where α' is the slope parameter of the string (related to the string tension). The quantities x0 and p0 are (roughly) string position from the initial condition and string momentum. If all the αμ n are zero, the solution represents the motion of a classical point particle.
This is rewritten, first defining
and then writing
In order to satisfy the constraints, one passes to light cone coordinates. For I = 2, 3, ...d, where d is the number of space dimensions, set
Not all αnμ, n ∈ ℤ, μ ∈ {+, −, 2, 3, ..., d} are independent. Some are zero (hence missing in the equations above), and the "minus coefficients" satisfy
The quantitity on the left is given a name,
the transverse Virasoro mode.
When the theory is quantized, the alphas, and hence the Ln become operators.
^オットー・シュライアー (1901– 1929) は群の拡大の理論の開拓者である.彼の豊富な研究論文とともにレクチャーノートは死後 Einführung in die analytische Geometrie und Algebra (Vol I 1931, Vol II 1935) の名で(Emanuel Sperner(英語版)により編集され)出版された.後に1951年に英語に Introduction to Modern Algebra and Matrix Theory において翻訳された.さらなる文献は MacTutor 2015 を参照.
^ヤコビ恒等式が成り立つことを示すには,one writes everything out, uses the fact that the underlying Lie algebras have a Lie product satisfying the Jacobi identity, and that δ[X, Y] = [δ(X), Y] + [X, δ(Y)].
^ ab Roughly, the whole Lie algebra is multiplied by i, there is an i occurring in the definition of the structure constants and the exponent in the exponential map (Lie theory) acquires a factor of (minus) i. the main reason for this convention is that physicists like their Lie algebra elements to be Hermitian (as opposed to skew-Hermitian) in order for them to have real eigenvalues and hence be candidates for observables.
^Aut h) のリー環が Der h, h のすべての導分の集合(それ自身明らかなブラケットによりリー環である)であるという事実は Rossmann 2002, p. 51 において見つけられる.
^ Since U = −i∑αaTa and U† are constant, they may be pulled out of partial derivatives. The U and U† then combine in U†U = I by unitarity.
^ This follows from Gauss law is based on the assumption of a sufficiently rapid fall-off of the fields at infinity.
^ There are alternative routes to quantization, e.g. one postulates the existence of creation and annihilation operators for all particle types with certain exchange symmetries based on which statistics, Bose–Einstein or Fermi–Dirac, the particles obey, in which case the above are derived for scalar bosonic fields using mostly Lorentz invariance and the demand for the unitarity of the S-matrix. In fact, all operators on Hilbert space can be built out of creation and annihilation operators. See e.g. Weinberg (2002), chapters 2–5.
^ This step is ambiguous, since the classical fields commute whereas the operators don't. Here it is pretended that this problem doesn't exist. In reality, it is never serious as long as one is consistent.
Bäuerle, G.G.A; de Kerf, E.A. (1990). A. van Groesen; E.M. de Jager. eds. Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics. Studies in mathematical physics. 1. North-Holland. ISBN 0-444-88776-8
Bäuerle, G.G.A; de Kerf, E.A. (1997). A. van Groesen; E.M. de Jager; A.P.E. Ten Kroode. eds. Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics. Studies in mathematical physics. 7. North-Holland. ISBN 978-0-444-82836-1. http://www.sciencedirect.com/science/bookseries/09258582
Kac–Moody and Virasoro algebras, A reprint Volume for Physicists. Advanced Series in Mathematical Physics. 3. Singapore: World Scientific Publishing. (1988). ISBN 9971-50-419-7. https://books.google.se/books?id=Wpk6Q-gFTmwC&printsec=frontcover&hl=sv#v=onepage&q&f=false
Goldin, G.A. (2006). Encyclopedia of Mathematical Physics. Current Algebra. ISBN 978-0-12-512666-3
Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996). Field Quantization. Springer Publishing. ISBN 3-540-59179-6
Humphreys, J. E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory (3rd ed.). Berlin·Heidelberg·New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90053-5
Knapp, A. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in mathematics. 140 (2nd ed.). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5
Rossmann, Wulf (2002). Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups. Oxford Graduate Texts in Mathematics. Oxford Science Publications. ISBN 0 19 859683 9
Schottenloher, M. (2008). A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory (2nd ed.). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-68625-5
Bargmann, V. (1954). “On unitary ray representations of continuous groups”. Ann. of Math.59 (1): 1–46. doi:10.2307/1969831. JSTOR 1969831.
Dolan, L. (1995). “The Beacon of Kac–Moody Symmetry for Physics”. Notices of the AMS (AMS) 42 (12): 1489–1495. ISSN 0002-9920. http://www.ams.org/notices/199512/index.html. (free access)
Kac, V. G. (1967R). “[Simple graded Lie algebras of finite growth]” (Russian). Funkt. Analis i ego Prilozh1 (4): 82–83.
Kac, V. G. (1967E). “Simple graded Lie algebras of finite growth”. Funct. Anal. Appl.1: 328–329. (English translation)
Goddard, P.; Olive, D. (1986). “Kac–Moody and Virasoro algebras in relation to quantum physics”. Int. J. Mod. Phys. A0l (World Scientific) 1 (2): 303–414. Bibcode: 1986IJMPA...1..303G. doi:10.1142/S0217751X86000149. http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0217751X86000149. This can be found in Kac–Moody and Virasoro algebras, A reprint Volume for Physicists
Moody, R. V. (1967). “Lie algebras associated with generalized Cartan matrices”. Bull. Amer. Math. Soc73: 217–221. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11688-4. MR0207783. Zbl 0154.27303. http://www.ams.org/journals/bull/1967-73-02/S0002-9904-1967-11688-4/home.html. (open access)
Schreier, O. (1926). “Uber die Erweiterung von Gruppen I [On the theory of group extensions I]” (German). Monatshefte für Mathematik34 (1): 165–180. doi:10.1007/BF01694897.
Schreier, O. (1925). “Uber die Erweiterung von Gruppen II [On the theory of group extensions II]” (German). Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg4 (1): 321–346. doi:10.1007/BF02950735.
Virasoro, M. A. (1970). “Subsidiary conditions and ghosts in dual-resonance models”. Phys. Rev. D: 2933–2936. Bibcode: 1970PhRvD...1.2933V. doi:10.1103/PhysRevD.1.2933. http://prola.aps.org/abstract/PRD/v1/i10/p2933_1.
Tuynman, G.M.; Wiegerinck, W.A.J.J. (1987). “Central extensions and physics”. J. Geometry and Physics (Elsevier) 4 (2): 207–258. Bibcode: 1987JGP.....4..207T. doi:10.1016/0393-0440(87)90027-1. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0393044087900271.
ウェブ
MacTutor (2015年). “Schreier biography”. MacTutor History of Mathematics. 2015年3月8日閲覧。