ユニタリ群

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n 次のユニタリ群(ユニタリぐん、英: unitary group) U(n) とは、n 次ユニタリ行列のなす群のことである。演算は行列の積で与えられる。

ユニタリ群は一般線型群の部分群である。

定義

複素数体上のユニタリ群

U ⁡ ( n ) = { U ∈ GL ⁡ ( n , C ) ∣ ∀ x , y ∈ C n : ⟨ U x , U y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ } = { U ∈ GL ⁡ ( n , C ) ∣ U † U = I n } {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {U} (n)&=\{\,U\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )\mid \forall x,y\in \mathbb {C} ^{n}:\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle \,\}\\&=\{\,U\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )\mid U^{\dagger }U=I_{n}\,\}\end{aligned}}}

ここで GL(n, C) は一般線型群、〈-, -〉はエルミート形式、†はエルミート共役である。

つまりユニタリ群の元は有限次複素線型空間のエルミート形式を―したがってノルムを―保つ。これは「絶対値が 1 の複素数」の線型変換における類似物である[1]。

一般の体上のユニタリ群

ユニタリ群は一般の体上では次のように定義される。 基礎体 K の2次拡大体 L をとる。 線型空間 V = Ln 上のエルミート形式

⟨ x , y ⟩ = x 1 y 1 ¯ + ⋯ + x n y n ¯ ( x = ( x i ) ,   y = ( y i ) ∈ V ) {\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}{\overline {y_{1}}}+\dotsb +x_{n}{\overline {y_{n}}}\qquad {\big (}x=(x_{i}),\ y=(y_{i})\in V{\big )}}

（ここで y i ¯ {\displaystyle {\overline {y_{i}}}} は代数共役を表す） を不変に保つ V 上の線型自己同型写像のなす群を U(n, K, L) と表し、これをユニタリ群という。

U ⁡ ( n , K , L ) = { U ∈ GL ⁡ ( n , L ) ∣ ∀ x , y ∈ V : ⟨ U x , U y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ } {\displaystyle \operatorname {U} (n,K,L)=\{\,U\in \operatorname {GL} (n,L)\mid \forall x,y\in V:\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle \,\}}

例

4元体を F4 = {0, 1, ω, ω2} とする。 ただし演算は関係式 ω2 + ω + 1 = 0 から定める。このとき U(2, F2, F4) は位数18の群で次の2元から生成される。

U ⁡ ( 2 , F 2 , F 4 ) = ⟨ [ ω ω 0 ω ] ,   [ 0 1 1 0 ] ⟩ {\displaystyle \operatorname {U} (2,\mathbb {F} _{2},\mathbb {F} _{4})={\Big \langle }{\begin{bmatrix}\omega &\omega \\0&\omega \end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\Big \rangle }}

性質

複素数体上のユニタリ群は以下の性質を満たす。

関連項目

脚注

  1. ^ Finite-Dimensional Vector Spaces (Paul R. Halmos) §59
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