ヘルダー平均

ヘルダー平均（ヘルダーへいきん、英語: Hölder mean）、またはべき平均（べきへいきん）、一般化平均（いっぱんかへいきん、英語: generalized mean）、^[1]とは、数の集合を集計する関数の族である。特別な場合としてピタゴラス平均（算術平均、幾何平均、調和平均）を含む。名称はオットー・ヘルダーにちなむ。

定義

p を0でない実数とする。正の実数 x₁, ... , x_n に対して指数 p のヘルダー平均は次で定義される^[2]：

M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}

「p-ノルム」も参照

p = 0 のときは、幾何平均（指数が0に向かうときの極限）で定義する。

M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n}):={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}

さらに、重み w_i （正の数のセット。ただし $\sum w_{i}=1$ ）に対して重み付きヘルダー平均は次で定義される：

{\begin{aligned}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&:=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})&:=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}

重みを考えない平均は、すべての重みを w_i = 1/n としたものに相当する。

特別な場合

n = 2、a = x₁ = M_∞, b = x₂ = M_−∞の場合の図示。
  調和平均、H = M₋₁(a, b),

  幾何平均、G = M₀(a, b)

  算術平均、A = M₁(a, b)

  二乗平均、Q = M₂(a, b)

いくつかの特定の p の値に対しては、特別の名前が付けられている^[3]。

最小値: $M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$
調和平均: $M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$
幾何平均: $M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}$
算術平均: $M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$
二乗平均平方根: $M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}$
立方平均: $M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}$
最大値: $M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$

$\textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}$ の証明 (幾何平均)
指数関数を使ってM_p の定義式を書き変える。 $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}$ p → 0 の極限で指数関数の引数にロピタルの定理を適用する。分子と分母をそれぞれ p で微分することで $\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}\ln {x_{i}}}{\lim _{p\to 0}\sum _{j=1}^{n}w_{j}\left({\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right)^{p}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}$ を得る。指数関数の連続性により上の関係を代入し直して $\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})$ を得る^[2]。

\textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}

の証明 (幾何平均)

指数関数を使ってM_p の定義式を書き変える。

M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}

p → 0 の極限で指数関数の引数にロピタルの定理を適用する。分子と分母をそれぞれ p で微分することで

\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}\ln {x_{i}}}{\lim _{p\to 0}\sum _{j=1}^{n}w_{j}\left({\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right)^{p}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}

を得る。指数関数の連続性により上の関係を代入し直して

\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})

を得る^[2]。

$\textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }$ および $\textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }$ の証明
（必要なら添え字を付けなおすなどして） $x_{1}\geq \dots \geq x_{n}$ と仮定する。すると $\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})$ を得る。 $M_{-\infty }$ については $M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}$ より導出できる。

\textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }

および

\textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }

の証明

（必要なら添え字を付けなおすなどして） $x_{1}\geq \dots \geq x_{n}$ と仮定する。すると

\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})

を得る。 $M_{-\infty }$ については $M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}$ より導出できる。

性質

ヘルダー平均は次の性質をもつ^[1]：

引数 x₁, ... , x_n の最小値と最大値の間にある。
$\min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})$
引数に対して対称である。つまり引数を並べ替えてもその値を変えない。引数の置換演算子を P とすると次式で表される：
$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))$
他の平均と同様、引数 x₁, ... , x_n に対して斉次である。つまり b を正の実数として次式が成り立つ：
$M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=bM_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})$
準算術平均（英語版）と同様に、平均の計算は同じサイズのサブブロックの計算に分割できる。これにより、必要に応じて分割統治法を使用して平均を計算できる。
$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{nk})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)k+1},\dots ,x_{nk})\right]$

異なるヘルダー平均の間に成り立つ不等式

一般に -∞ ≤ p < q ≤ +∞ ならば

M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})

である。また2つの平均が等しいのは x₁ = x₂ = ⋯ = x_n のとき、かつそのときに限る。これはイェンセンの不等式より、任意の実数 p に対して

{\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0

が成り立つためである。

特に p = -1, 0, 1 の場合を考えると、この不等式は調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 相加平均

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots {}x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}

を意味する。

応用

信号処理

ヘルダー平均より非線形移動平均が導かれる。これは小さい p の場合には小さい信号値を強調し、大きい p の場合は大きい信号値を強調する。移動算術平均の効率的な実装である smooth が使えるならば、次のHaskellコードに従って移動ヘルダー平均を実装できる。

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

p が大きい場合、整流された信号の包絡線検波が得られる。
p が小さい場合、マススペクトルのベースライン検出器が得られる。

一般化 f-平均

ヘルダー平均はさらに一般化 f-平均（英語版）に一般化できる。

M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)

この式は f(x) = log x とすれば、極限を使うことなく幾何平均も表すことができる。ヘルダー平均は f(x) = x^p とすることで得られる。

脚注

^ ^a ^b Sýkora, Stanislav (2009). Mathematical means and averages: basic properties. 3. Stan’s Library: Castano Primo, Italy. doi:10.3247/SL3Math09.001
^ ^a ^b P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, pp. 175-177
^ Weisstein, Eric W. "Power Mean". mathworld.wolfram.com (英語). (retrieved 2019-08-17)