ブロカール円

外心(Cc)と類似重心(Sy)とブロカール円

ブロカール円（ブロカールえん、Brocard circle）は、三角形の外心と類似重心を直径の両端とする円の名称である。

名称は1881年に論文を発表したアンリ・ブロカール（フランス語版、英語版）に由来する。

性質

円上には外心・類似重心の他に2つのブロカール点が存在する。

3辺の長さを abc、外接円の半径を R とすると、この円の半径は

R b = a 4 + b 4 + c 4 − ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) a 2 + b 2 + c 2 R {\displaystyle R_{b}={\frac {\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}R}

で表される。

ブロカール円の中心X(182)、つまり外心と類似重心の中点の三線座標は以下の式で与えられる。

cos ⁡ ( A − ω ) : cos ⁡ ( B − ω ) : cos ⁡ ( C − ω ) {\displaystyle \cos(A-\omega ):\cos(B-\omega ):\cos(C-\omega )}

= a 2 ( b 2 + c 2 ) + 2 b 2 c 2 − a 4 b c : b 2 ( c 2 + a 2 ) + 2 c 2 a 2 − b 4 c a : c 2 ( a 2 + b 2 ) + 2 a 2 b 2 − c 4 a b {\displaystyle ={\frac {a^{2}(b^{2}+c^{2})+2b^{2}c^{2}-a^{4}}{bc}}:{\frac {b^{2}(c^{2}+a^{2})+2c^{2}a^{2}-b^{4}}{ca}}:{\frac {c^{2}(a^{2}+b^{2})+2a^{2}b^{2}-c^{4}}{ab}}}

ここでωはブロカール角である。

関連項目

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Brocard Circle". mathworld.wolfram.com (英語).
  • Weisstein, Eric W. "Brocard Diameter". mathworld.wolfram.com (英語).