フィッシャー情報量

フィッシャー情報量（フィッシャーじょうほうりょう、英: Fisher information ） ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}(\theta )}$は、統計学や情報理論で登場する量で、確率変数${\displaystyle X}$が母数${\displaystyle \theta }$に関して持つ「情報」の量を表す。統計学者のロナルド・フィッシャーに因んで名付けられた。

定義

${\displaystyle \theta }$を母数とし、${\displaystyle X}$を確率密度関数が${\displaystyle f(x|\theta )}$で表される確率変数とする。 このとき、${\displaystyle \theta }$の尤度関数${\displaystyle L(\theta |x)}$は

${\displaystyle L(\theta |x)=f(x|\theta )\,}$

で定義され、スコア関数は対数尤度関数の微分

${\displaystyle V(x;\theta )={\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln L(\theta |x)}$

により定義される。このとき、フィッシャー情報量${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}(\theta )}$はスコア関数の2次のモーメント

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}_{X}(\theta )&=\mathrm {E} [V(x;\theta )^{2}|\theta ]\\&=\mathrm {E} \left[\left.{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln L(\theta |x){\biggr )}^{2}\right|\,\theta \right]\end{aligned}}}$

により定義される。紛れがなければ添え字の${\displaystyle X}$を省略し、${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )}$とも表記する。なお、${\displaystyle X}$に関しては期待値が取られている為、フィッシャー情報量は${\displaystyle X}$の従う確率密度関数${\displaystyle f(x|\theta )}$のみに依存して決まる。よって${\displaystyle X}$と${\displaystyle Y}$が同じ確率密度関数を持てば、それらのフィッシャー情報量は同一である。

スコア関数は

${\displaystyle \mathrm {E} [V(x;\theta )|\theta ]=0\,}$

を満たす事が知られているので、

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}(\theta )=\mathrm {var} (V(x;\theta ))}$

が成立する。ここで ${\displaystyle \mathrm {var} }$ は分散を表す。

また${\displaystyle \ln f(x|\theta )}$が二回微分可能で以下の標準化条件

${\displaystyle \int {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f(X;\theta )\,dx=0,}$

を満たすなら、フィッシャー情報量は以下のように書き換えることができる。

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=-\mathrm {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(X;\theta )\right].}$

このとき、フィッシャー情報量は、${\displaystyle f}$ の対数の${\displaystyle \theta }$についての2次の導関数にマイナスを付けたものになる。フィッシャー情報量は、${\displaystyle \theta }$についての最尤推定量付近のサポート曲線の「鋭さ」としてもとらえることができる。例えば、「鈍い」（つまり、浅い最大値を持つ）サポート曲線は、2次の導関数として小さな値を持つため、フィッシャー情報量としても小さな値を持つことになるし、鋭いサポート曲線は、2次導関数として大きな値を持つため、フィッシャー情報量も大きな値になる。

フィッシャー情報行列

パラメータがN個の場合、つまり、${\displaystyle \mathbf {\theta } }$ がN次のベクトル${\displaystyle \theta =(\theta _{1},\theta _{2},\cdots ,\theta _{N})^{T}}$であるとき、フィッシャー情報量は、以下で定義されるNxN 行列に拡張される。

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mathbf {\theta } )=\mathrm {E} \left[{\frac {\partial }{\partial \mathbf {\theta } }}\ln f(X;\theta ){\frac {\partial }{\partial \mathbf {\theta } ^{T}}}\ln f(X;\theta )\right].}$

これを、フィッシャー情報行列(FIM, Fisher information matrix)と呼ぶ。成分表示すれば、以下のようになる。

${\displaystyle {\left({\mathcal {I}}\left(\theta \right)\right)}_{i,j}=\mathrm {E} \left[{\frac {\partial }{\partial \theta _{i}}}\ln f(X;\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta _{j}}}\ln f(X;\theta )\right].}$

フィッシャー情報行列は、NxN の正定値対称行列であり、その成分は、N次のパラメータ空間からなるフィッシャー情報距離を定義する。

${\displaystyle p}$個のパラメータによる尤度があるとき、フィッシャー情報行列のi番目の行と、j番目の列の要素がゼロであるなら、2つのパラメータ、${\displaystyle \theta _{i}}$と${\displaystyle \theta _{j}}$は直交である。パラメータが直交であるとき、最尤推定量が独立になり、別々に計算することができるため、扱いやすくなる。このため、研究者が何らかの研究上の問題を扱うとき、その問題に関わる確率密度が直交になるようにパラメーター化する方法を探すのに一定の時間を費やすのが普通である。

基本的性質

フィッシャー情報量は

${\displaystyle 0\leq {\mathcal {I}}(\theta )<\infty \,}$

を満たす。

また${\displaystyle X}$，${\displaystyle Y}$が独立な確率変数であれば、

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}(\theta )={\mathcal {I}}_{X}(\theta )+{\mathcal {I}}_{Y}(\theta )}$　(フィッシャー情報量の加算性）

が成立する。すなわち、「${\displaystyle (X,Y)}$が${\displaystyle \theta }$に関して持つ情報の量」は 「${\displaystyle X}$が${\displaystyle \theta }$に関して持つ情報の量」と 「${\displaystyle Y}$が${\displaystyle \theta }$に関して持つ情報の量」の和である。

よって特に、無作為に取られたn個の標本が持つフィッシャー情報量は、1つの標本が持つフィッシャー情報量のn倍である（観察が独立である場合）。

Cramér–Raoの不等式

${\displaystyle \theta }$の任意の不偏推定量${\displaystyle {\hat {\theta }}}$は以下のCramér–Rao(クラメール-ラオ)の不等式を満たす：

${\displaystyle \mathrm {var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {1}{{\mathcal {I}}(\theta )}}\,}$

この不等式の直観的意味を説明する為、両辺の逆数を取った上で確率変数${\displaystyle X}$への依存関係を明示すると、

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}(\theta )\geq {\frac {1}{\mathrm {var} ({\hat {\theta }}(X))}}\,}$

となる。一般に推定量はその分散が小さいほど(よって分散の逆数が大きいほど)母数${\displaystyle \theta }$に近い値を出しやすいので、「よい」推定量であると言える。${\displaystyle \theta }$を「推定する」という行為は、「よい」推定量${\displaystyle {\hat {\theta }}(X)}$を使って${\displaystyle \theta }$を可能な限り復元する行為に他ならないが、上の不等式は${\displaystyle X}$から算出されたどんな不偏推定量であっても${\displaystyle X}$が元々持っている「情報」以上に「よい」推定量にはなりえない事を意味する。

十分統計量との関係

一般に${\displaystyle T=t(X)}$が統計量であるならば、

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{T}(\theta )\leq {\mathcal {I}}_{X}(\theta )}$

が成立する。すなわち、「${\displaystyle X}$から計算される値${\displaystyle T=t(X)}$が持っている${\displaystyle \theta }$の情報」は「${\displaystyle X}$自身が持っている${\displaystyle \theta }$の情報」よりも大きくない。

上式で等号成立する必要十分条件は${\displaystyle T}$が十分統計量であること。 これは${\displaystyle T(X)}$が ${\displaystyle \theta }$に対して十分統計量であるならば、ある関数${\displaystyle f}$および${\displaystyle g}$が存在して

${\displaystyle f(X;\theta )=g(T(X),\theta )h(X)}$

が成り立つ（ネイマン分解基準）事を使って証明できる。

カルバック・ライブラー情報量との関係

${\displaystyle X_{\theta }}$を母数${\displaystyle {\vec {\theta }}=(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})}$を持つ確率変数とすると、カルバック・ライブラー情報量 ${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }}$とフィッシャー情報行列は以下の関係が成り立つ。

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(X_{{\vec {\theta }}+{\vec {h}}}\|X_{\vec {\theta }})={\frac {{}^{t}{\vec {h}}\cdot {\mathcal {I}}({\vec {\theta }})\cdot {\vec {h}}}{2}}+o(|{\vec {h}}|^{2})}$

すなわちフィッシャー情報行列はカルバック・ライブラー情報量をテイラー展開したときの2次の項として登場する。（0次、1次の項は0）。

具体例

ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布は、確率θ でもたらされる「成功」と、それ以外の場合に起きる「失敗」という2つの結果をもたらす確率変数が従う分布である（ベルヌーイ試行）。例えば、表が出る確率がθ、裏が出る確率が1 - θであるような、コインの投げ上げを考えれば良い。

n回の独立なベルヌーイ試行が含むフィッシャー情報量は、以下のようにして求められる。なお、以下の式中で、A は成功の回数、B は失敗の回数、n =A +B は試行の合計回数を示している。対数尤度関数の2階導関数は、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln {f(A;\theta )}&={\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln \left[\theta ^{A}(1-\theta )^{B}{\frac {(A+B)!}{A!B!}}\right]\\&={\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\left[A\ln(\theta )+B\ln(1-\theta )\right]\\&=-{\frac {A}{\theta ^{2}}}-{\frac {B}{(1-\theta )^{2}}}\end{aligned}}}$

であるから、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}(\theta )&=-\mathrm {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln(f(A;\theta ))\right]\\&={\frac {n\theta }{\theta ^{2}}}+{\frac {n(1-\theta )}{(1-\theta )^{2}}}\end{aligned}}}$

となる。但し、Aの期待値はn θ、B の期待値はn (1-θ )であることを用いた 。

つまり、最終的な結果は、

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )={\frac {n}{\theta (1-\theta )}},}$

である。これは、n回のベルヌーイ試行の成功数の平均の分散の逆数に等しい。

ガンマ分布

形状パラメータα、尺度パラメータβのガンマ分布において、フィッシャー情報行列は

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\alpha ,\beta )={\begin{pmatrix}\psi '(\alpha )&{\frac {1}{\beta }}\\{\frac {1}{\beta }}&{\frac {\alpha }{\beta ^{2}}}\end{pmatrix}}}$

で与えられる。但し、ψ(α)はディガンマ関数を表す。

正規分布

平均μ、分散σ²の正規分布N(μ, σ²)において、フィッシャー情報行列は

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sigma ^{2}}}&0\\0&{\frac {1}{2(\sigma ^{2})^{2}}}\end{pmatrix}}}$

で与えられる。

多変量正規分布

N個の変数の多変量正規分布についてのフィッシャー情報行列は、特別な形式を持つ。

${\displaystyle \mu (\theta )={\begin{pmatrix}\mu _{1}(\theta ),\mu _{2}(\theta ),\cdots ,\mu _{N}(\theta )\end{pmatrix}},}$

であるとし、${\displaystyle \Sigma (\theta )}$が${\displaystyle \mu (\theta )}$の共分散行列であるとするなら、

${\displaystyle X}$～${\displaystyle N(\mu (\theta ),\Sigma (\theta ))}$のフィッシャー情報行列、${\displaystyle {\mathcal {I}}_{m,n}\,(0\leq ;m,n<N)}$の成分は以下の式で与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{m,n}={\frac {\partial \mu }{\partial \theta _{m}}}\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \mu ^{\top }}{\partial \theta _{n}}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{m}}}\Sigma ^{-1}{\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{n}}}\right),}$

ここで、${\displaystyle (..)^{\top }}$はベクトルの転置を示す記号であり、${\displaystyle \mathrm {tr} (..)}$は、平方行列のトレースを表す記号である。また、微分は以下のように定義される。

${\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial \theta _{m}}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \mu _{1}}{\partial \theta _{m}}},&{\frac {\partial \mu _{2}}{\partial \theta _{m}}},&\cdots ,&{\frac {\partial \mu _{N}}{\partial \theta _{m}}}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Sigma }{\partial \theta _{m}}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \Sigma _{1,1}}{\partial \theta _{m}}}&{\frac {\partial \Sigma _{1,2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\frac {\partial \Sigma _{1,N}}{\partial \theta _{m}}}\\\\{\frac {\partial \Sigma _{2,1}}{\partial \theta _{m}}}&{\frac {\partial \Sigma _{2,2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\frac {\partial \Sigma _{2,N}}{\partial \theta _{m}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial \Sigma _{N,1}}{\partial \theta _{m}}}&{\frac {\partial \Sigma _{N,2}}{\partial \theta _{m}}}&\cdots &{\frac {\partial \Sigma _{N,N}}{\partial \theta _{m}}}\end{pmatrix}}.}$

脚注

関連項目

• 情報理論
• 測度
• 情報量
• 情報エントロピー