ファン・スコーテンの定理

| P A | = | P B | + | P C | {\displaystyle |PA|=|PB|+|PC|}

ファン・スコーテンの定理（ファン・スコーテンのていり、英:Van Schooten's theorem）とはオランダの数学者フランス・ファン・スコーテンに由来して名づけられた、正三角形に関する定理である。

正三角形 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} とその外接円上の点 P {\displaystyle P} について P A , P B , P C {\displaystyle PA,PB,PC} のうち最も長いものの長さは、他二つの長さの和と等しい。

この定理はトレミーの定理の系である。 a {\displaystyle a} を正三角形 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} の辺の長さ、 P A {\displaystyle PA} を P A , P B , P C {\displaystyle PA,PB,PC} のうち最も長い辺とすれば、トレミーの定理によって以下の様に書くことができる。

| B C | ⋅ | P A | = | A C | ⋅ | P B | + | A B | ⋅ | P C | ⟺ a ⋅ | P A | = a ⋅ | P B | + a ⋅ | P C | {\displaystyle {\begin{aligned}&|BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|\\[6pt]\Longleftrightarrow &a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|\end{aligned}}}

関連

出典

  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, ISBN 9780883853481, pp. 102–103
  • Doug French: Teaching and Learning Geometry. Bloomsbury Publishing, 2004, ISBN 9780826434173 , pp. 62–64
  • Raymond Viglione: Proof Without Words: van Schooten′s Theorem. Mathematics Magazine, Vol. 89, No. 2 (April 2016), p. 132
  • Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117

外部リンク

  • Van Schooten's theorem at cut-the-knot.org