ヒルベルトの定理90

数学、特に体論において、ヒルベルトの定理90 (Hilbert's Theorem 90) は、体の巡回拡大に関する重要な定理である。

ステートメント

K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、ノルム N_K/k(β) が 1 であることと、ある 0≠α∈K が存在して β=α/σα となることは同値である。

加法版

K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、トレース Tr_K/k(β) が 0 であることと、ある α∈K が存在して β=α−σα となることは同値である。

群コホモロジーを用いた表現

K/k を有限次ガロワ拡大、G をそのガロワ群とする。このとき

• ${\displaystyle H^{1}(G,K^{*})=0}$
• ${\displaystyle H^{1}(G,K)=0}$

が成り立つ。

例

K/k を2次拡大 ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }$とする。ガロア群は位数2の巡回群であり、生成元 σ は複素共役である。

${\displaystyle \sigma :\,\,c-di\mapsto c+di\ .}$

K の元 ${\displaystyle x=a+bi}$ はノルム ${\displaystyle xx^{\sigma }=a^{2}+b^{2}}$ を持つ。 ノルムが1の元は ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$ の有理数解，もしくは単位円上の有理数点に対応する。 ヒルベルトの定理90によるとノルムが1の元 y は整数 c と d で次のように表すことができる。

${\displaystyle y={\frac {c+di}{c-di}}={\frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {2cd}{c^{2}+d^{2}}}i.}$

これは単位円上の有理数点のパラメーター付けを表している。 単位円${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$上の有理数点${\displaystyle \,(x,y)=(a/c,b/c)}$は${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}=c^{2}}$を満たすピタゴラス数${\displaystyle \,(a,b,c)}$を表す。

関連項目

• クンマー理論
• アルティン・シュライアー理論
• 群コホモロジー
• ガロワ・コホモロジー

参考文献

• Serge Lang (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211 (Rev. 3rd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4 
• 桂利行『代数学III 体とガロア理論』東京大学出版会〈大学数学の入門3〉、2005年。ISBN 978-4-13-062953-9。 
• 雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』日本評論社、2010年。ISBN 978-4-535-78660-8。