チャーン・サイモンズ形式

数学において、チャーン･サイモンズ形式(英: Chern–Simons form)とは、ある第二特性類のことを指す。それらは、ゲージ理論で興味をもたれ、（特に3-形式は）チャーン・サイモンズ理論の作用を定義する。理論は陳省身とジェームズ・サイモンズの名前にちなんでいて、1974年の共著論文、題名：｢Characteristic Forms and Geometric Invariants｣の中で、この理論が生まれた。(Chern & Simons 1974)

定義

多様体が与えられ、多様体の上のリー代数に値を持つ1-形式(1-form)の空間を ${\displaystyle \mathbf {A} }$ とすると、以下のようにして、（チャーン・サイモンズ）p-形式の族を定義することができる。

1-次元では、チャーン・サイモンズ 1-形式は次の式で与えられる。

${\displaystyle {\rm {Tr}}[\mathbf {A} ].}$

3-次元では、チャーン・サイモンズ 3-形式 は次の式で与えられる。

${\displaystyle {\rm {Tr}}\left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].}$

5-次元では、チャーン・サイモンズ 5-形式 は次の式で与えられる。

${\displaystyle {\rm {Tr}}\left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]}$

ここに曲率 F は次のように定義される。

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

一般のチャーン・サイモンズ形式 ${\displaystyle \omega _{2k-1}}$ は次のような方法で定義される。

${\displaystyle d\omega _{2k-1}={\rm {Tr}}\left(F^{k}\right),}$

ここにウェッジ積は F^k と定義する。この式の右辺は、接続 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ の k-番目のチャーン類に比例する。

一般に、チャーン・サイモンズ p-形式は任意の奇数 p に対し定義される。(定義はゲージ理論も参照のこと)。p-次元多様体の上のチャーン・サイモンズ項の積分は、大域的な幾何学的不変量であり、典型的には、整数倍を同一視するとゲージ不変（な不変量）となる。

関連項目

• チャーン・ヴェイユ準同型
• カイラルアノマリー（英語版）
• 位相場理論
• ジョーンズ多項式

参考文献

• 「Characteristic forms and geometric invariants」『The Annals of Mathematics, Second Series』第99巻、第1号、48–69頁、1974年。JSTOR 1971013。https://jstor.org/stable/1971013。 .