アーベル圏

定義 ― 圏${\displaystyle {\mathcal {C}}}$が前加法圏（英: preadditive category、英: Ab-category）であるとは、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の任意の対象A、Bに対し、${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$には2項演算子「${\displaystyle +}$」が定義されており、「${\displaystyle +}$」に関して${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$はアーベル群になり、さらに任意の射${\displaystyle f,~f'~:~A\to B}$、${\displaystyle g,~g'~:~B\to C}$に対し、射の結合は下記の双線型性を満たす事を言う^[6]：

${\displaystyle g\circ (f+f')=g\circ f+g\circ f'}$

${\displaystyle (g+g')\circ f=g\circ f+g'\circ f}$

定義 ― 前加法圏${\displaystyle {\mathcal {C}}}$が加法圏（英語版）（英: additive category）であるとは、以下を満たす事を言う^{[7][8][9][10][11][注 2]}：

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$は零対象を持つ
2. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の任意の対象A、Bに対し、AとBの積が常に存在する。

定理 ― ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$を前加法圏とし、Zを${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の対象とするとき、以下の4条件は同値である^[12]。

• Zは始対象である。
• Zは終対象である。
• ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$のアーベル群としての単位元を${\displaystyle 0_{AB}~:~A\to B}$と表すと、${\displaystyle 0_{ZZ}=\mathrm {id} _{Z}}$
• ${\displaystyle \mathrm {Hom} (Z,Z)}$は単位元のみからなる群である。

定理 ― ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$を零対象Zが存在する前加法圏とするとき、以下は同値である^[13]。

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の任意の対象A、Bに対し、AとBの積が常に存在する。
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の任意の対象A、Bに対し、AとBの余積が常に存在する。
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の任意の対象A、Bに対し、AとBの複積（英語版）（後述）が常に存在する。

定義 ― A、Bを前加法圏${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の対象とするとき、

${\displaystyle A{\underset {\iota _{A}}{\overset {p_{A}}{\leftrightarrows }}}A\oplus B{\underset {\iota _{B}}{\overset {p_{B}}{\rightleftarrows }}}B}$

がAとBの複積（英: biproduct）であるとは、以下を満たす事を言う^[13]：

• ${\displaystyle p_{A}\circ \iota _{A}=\mathrm {id} _{A}}$
• ${\displaystyle p_{B}\circ \iota _{B}=\mathrm {id} _{B}}$
• ${\displaystyle \iota _{A}\circ p_{A}+\iota _{B}\circ p_{B}=\mathrm {id} _{A\oplus B}}$

定理 ― ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$を加法圏とし、A、Bを${\displaystyle {\mathcal {C}}}$対象とするとき、AとBの積、余積、複積は一致する^[13]。

定義 ― 圏${\displaystyle {\mathcal {C}}}$が以下の4つの性質をみたすとき、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$はアーベル圏であるという^[14]：

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$に零対象が存在する。
2. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の任意の対象A、Bに対し、AとBの積および余積が常に存在する。
3. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の任意の射${\displaystyle f~:~A\to B}$には核${\displaystyle \mathrm {ker} f}$と余核${\displaystyle \mathrm {coker} f}$が存在する。
4. 任意のモニック射${\displaystyle f~:~A\to B}$に対しある射${\displaystyle g~:~B\to C}$が存在し、${\displaystyle f~:~A\to B}$はgの核である。また任意のエピック射${\displaystyle f~:~A\to B}$に対しある射${\displaystyle h~:~C\to A}$が存在し、${\displaystyle f~:~A\to B}$はhの余核である。

定義 ― アーベル圏${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の射${\displaystyle f~:~A\to B}$の余核${\displaystyle c~:~B\to C}$の核${\displaystyle k~:~K\to B}$をfの像（英: image）という^[16][17]。

定義 ― アーベル圏${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の射${\displaystyle f~:~A\to B}$の核${\displaystyle k~:~K\to A}$の余核${\displaystyle c~:~A\to C}$をfの余像（英: coimage）という^[17]。

定義 ― ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$をアーベル圏とし、${\displaystyle f~:~A\to B}$を${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の射とする。このとき

• fが単射（英: injective）であるとは、${\displaystyle \mathrm {Ker} f=0}$となる事をいう^[18]。
• fが全射（英: surjective）であるとは、${\displaystyle \mathrm {Coker} f=0}$となる事をいう^[18]。

定理 ― ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$をアーベル圏とし、${\displaystyle f~:~A\to B}$を${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の射とする。このとき、

• fが単射である必要十分条件はfがモニック射である事である^[18]
• fが全射である必要十分条件はfがエピック射である事である^[18]

定理 ― アーベル圏は加法圏である^[19]。

定理 ― 記号を上と同様に取るとき、任意の${\displaystyle f,g\in \mathrm {Hom} (A,B)}$に対し、

${\displaystyle f+_{L}g=f+_{R}g}$

が成立する^[20]。そこで「${\displaystyle +_{L}}$」と「${\displaystyle +_{R}}$」を区別せず単に「${\displaystyle +}$」と書くと、${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$は「${\displaystyle +}$」に関してアーベル群であり^[20]、しかも「${\displaystyle +}$」は射の結合に関して双線形性を満たす^[20]。

定理 (ミッチェルの埋め込み定理) ― アーベル圏${\displaystyle {\mathcal {C}}}$が小さい圏であれば、ある環Rが存在して${\displaystyle {\mathcal {C}}}$から左R-加群の圏R-Modへの共変関手

${\displaystyle F~:~{\mathcal {C}}\to R{\text{-}}\mathbf {Mod} }$

で充満かつ忠実でしかも完全（後述）なものが存在する^{[26][注 4]}。

定義 ― アーベル圏${\displaystyle {\mathcal {C}}}$からアーベル圏${\displaystyle {\mathcal {D}}}$への（共変）関手${\displaystyle F~:~{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$が完全（英: exact）であるとは、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の対象からなる任意の３項完全列

${\displaystyle A_{1}\to A_{2}\to A_{3}}$

に対し、

${\displaystyle F(A_{1})\to F(A_{2})\to F(A_{3})}$

も完全列になる事を言う^[27]。

定理 ― ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$をアーベル圏とすると、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$の双対圏${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$はアーベル圏である^[29]。

定理 ― ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$をアーベル圏とすると、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$上のチェイン複体の圏${\displaystyle \mathbf {Comp} ({\mathcal {C}})}$はアーベル圏である^[30]。

定理 ― Xを位相空間とし、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$をアーベル圏とすると、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$に値を取るX上の前層の圏${\displaystyle \mathbf {pSh} (X,{\mathcal {C}})}$および層の圏${\displaystyle \mathbf {Sh} (X,{\mathcal {C}})}$はいずれもアーベル圏である^[31]。

定理 ― ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$をアーベル圏、${\displaystyle {\mathcal {D}}}$を小さい圏とすると${\displaystyle {\mathcal {D}}}$から${\displaystyle {\mathcal {C}}}$への関手の圏${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {D}}}$はアーベル圏である^[32]。

1. ^ #MacLane p.205.
2. ^ Grothendieck (1957)
3. ^ ^{a b} David Eisenbud and Jerzy Weyman. “MEMORIAL TRIBUTE Remembering David Buchsbaum”. American Mathematical Society. 2023年12月22日閲覧。
4. ^ “David Buchsbaum”. nLab. 2023年12月22日閲覧。
5. ^ Buchsbaum (1955)
6. ^ #MacLane p.28, 194.
7. ^ #MacLane p.194.
8. ^ #河田 p.177.
9. ^ “additive category”. nLab. 2023年12月19日閲覧。
10. ^ “additive category”. Encyclopedia of Mathematics. 2023年12月19日閲覧。
11. ^ #Rotman p.303.
12. ^ #MacLane p.194.
13. ^ ^{a b c} #河田 p.178.
14. ^ #河田 p,168,
15. ^ ^{a b c d e f g} #Rotman p. 308.
16. ^ ^{a b} #Rotman p.309
17. ^ ^{a b} #河田 pp.174-177.
18. ^ ^{a b c d} “12.5 Abelian categories”. The Stacks project. Columbia University. 2024年1月9日閲覧。
19. ^ #河田 p.180.
20. ^ ^{a b c d} #河田 pp.193-194.
21. ^ #河田 p.193
22. ^ #河田 p.189
23. ^ “12.13 Complexes”. The Stacks project. Columbia University. 2024年1月9日閲覧。
24. ^ #Rotman p.349.
25. ^ #玉木
26. ^ #Mitchell p.151.
27. ^ #Rotman p.315.
28. ^ #Mitchell p.151.
29. ^ #Rotman p. 307.
30. ^ #Rotman p.319.
31. ^ #Rotman pp. 309-311.
32. ^ #Rotman p.310.

1. ^ アーベルの名にちなむが、「abelian」の語頭は小文字を用いる。本項執筆者が確認した範囲では、#Rotman p.303、#Mitchell p.33. #MacLane p.198で小文字であった。
2. ^ #河田のみ２番めの条件が「２つの対象の積」ではなく単に「積」になっているが、「２つの対象の積」の意味であると判断。実際その直後に２つの積が余積や複積と等しいことを示している。
3. ^ ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}\times \mathrm {id} _{A}}$は対角射、${\displaystyle \mathrm {id} _{A}\amalg \mathrm {id} _{A}}$は双対対角射である。
4. ^ 本項では#Mitchellに基づいてステートメントを書いたが、#Rotman p.316.では本項の「R-Mod」の部分がアーベル群の圏「Ab」になっている。これはR-加群をアーベル群と解釈できる事による。