Universo di Grothendieck

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In matematica, in particolare in teoria assiomatica degli insiemi, un universo di Grothendieck è un insieme U tale che:

1. Se x è un elemento di U e y è un elemento di x allora anche y è un elemento di U.
2. Se x e y sono elementi di U allora {x,y} è un elemento di U.
3. Se x è un elemento di U, allora P(x), l'insieme delle parti di x, è un elemento di U.
4. Se x è un elemento di U allora l'unione ${\displaystyle \bigcup x}$ è un elemento di U.

Un universo di Grothendieck è un insieme in cui tutte le operazioni insiemistiche possono essere eseguite (Infatti un universo di Grothendieck non numerabile fornisce un modello di teoria degli insiemi con la naturale relazione di appartenenza ∈). Per esempio, proviamo la seguente proposizione:

Proposizione 1.

Se ${\displaystyle x\in U}$ e ${\displaystyle y\subseteq x}$ allora ${\displaystyle y\in U}$.

Dimostrazione.

${\displaystyle y\in P(x)}$ poiché ${\displaystyle y\subseteq x}$. ${\displaystyle P(x)\in U}$ poiché ${\displaystyle x\in U}$, quindi ${\displaystyle y\in U}$.

In maniera simile si prova che ogni universo di Grothendieck U contiene:

• Tutti i singoletti di ognuno dei suoi elementi,
• Tutti i prodotti di tutte le famiglie di elementi di U indicizzate da elementi di U,
• Tutte le unioni disgiunte di famiglie di elementi di U indicizzate da elementi di U,
• Tutte le intersezioni di tutte le famiglie di elementi di U indicizzate da elementi di U,
• Tutte le funzioni tra due elementi di U, e
• Tutti i sottoinsiemi di U la cui cardinalità è un elemento di U.

L'idea degli universi è dovuta ad Alexander Grothendieck, che la usò come metodo per evitare le classi in geometria algebrica.

• Nicolas Bourbaki, Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, Univers, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Lecture notes in mathematics 269), Berlino, Springer-Verlag, 1972, pp. 185-217. URL consultato il 24 gennaio 2012 (archiviato dall'url originale il 9 agosto 2016).

• Teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck