Trasformata di Mellin

La trasformata di Mellin, il cui nome deriva dal matematico finlandese Hjalmar Mellin, è una trasformata integrale che può essere considerata la versione moltiplicativa della trasformata di Laplace bilatera.

Definizione

La trasformata di Mellin di una funzione $f$ è data da:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx

Se le condizioni poste dal teorema di inversione di Mellin sono soddisfatte si può definire la trasformata inversa di Mellin:

\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds

dove l'integrale di linea è valutato lungo una linea verticale nel piano complesso.

Relazione con le altre trasformate

La trasformata di Mellin può essere definita attraverso la trasformata di Laplace bilatera come:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(e^{-x})\right\}(s)

e viceversa, la trasformata di Laplace bilatera può essere definita a partire dalla trasformata di Mellin nel seguente modo:

\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)

La trasformata di Laplace bilatera integra rispetto alla misura di Haar additiva $dx$ , che è invariante sotto traslazione:

d(x+a)=dx

mentre la trasformata di Mellin può essere vista come un'integrazione che utilizza il nucleo integrale $x^{s}$ rispetto alla misura di Haar moltiplicativa $dx/x$ , che è invariante rispetto ad una dilatazione del tipo $x\mapsto ax$ , e dunque:

{\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}}

La trasformata di Mellin si può anche definire in termini della trasformata di Fourier:

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)

e viceversa:

\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)

Bibliografia

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Voci correlate

Teorema di inversione di Mellin
Trasformata di Fourier
Trasformata di Laplace

Collegamenti esterni

(EN) Mellin Transform and Its Applications (Università Purdue)
(EN) Trasformata di Mellin (MathWorld)
(EN) Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
(EN) Trasformata di Mellin (EqWorld)
(EN) G. L. Porter http://handle.dtic.mil/100.2/ADA319175^{[collegamento interrotto]} (Tesi di Laurea, Air Force Institute of Technology, Wright Paterson, OH, 1997)
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(EN) A. H. Zemanian The distributional Laplace and Mellin transformations (State University of New York, Stony Brook, 1964)
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(ES) Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas
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(EN) Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX