Teorema di Kummer

In matematica, il teorema di Kummer per coefficienti binomiali fornisce la valutazione p-adica di un coefficiente binomiale, ovvero l'esponente della maggiore potenza di un numero primo ${\displaystyle p}$ che divide questo coefficiente binomiale. Il teorema prende nome da Ernst Kummer, che lo dimostrò nel 1852.

Il teorema

Il teorema di Kummer afferma che per dati numeri interi ${\textstyle n\geq m\geq 0}$ ed un numero primo ${\textstyle p}$, la valutazione p-adica ${\textstyle {\displaystyle \nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)}}$è pari al numero di riporti quando si addiziona ${\displaystyle m}$ ad ${\displaystyle n-m}$ in base-p.

Può essere dimostrato scrivendo ${\textstyle {\tbinom {n}{m}}}$ come ${\textstyle {\tfrac {n!}{m!(n-m)!}}}$ ed usando quindi l'identità di Legendre.

Generalizzazione a coefficienti multinomiali

Il teorema di Kummer può essere generalizzato a coefficienti multinomiali ${\displaystyle {\displaystyle {\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}:={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}}}$come segue: scrivendo l'espansione in base-p di un numero intero ${\displaystyle n}$ come ${\displaystyle {\displaystyle n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}}$ e indicando con ${\displaystyle {\displaystyle S_{p}(n)=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}}$ la somma delle cifre dell'espansione in base-p, allora ${\displaystyle {\displaystyle \nu _{p}\left({\dbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}\right)={\dfrac {1}{p-1}}\left(\sum _{i=1}^{k}S_{p}(m_{i})-S_{p}(n)\right)}.}$

Bibliografia

• Kummer, Ernst (1852). "Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 44: 93–146. doi:10.1515/crll.1852.44.93.
• Kummer's theorem at PlanetMath.org.

Voci correlate

• Teorema di Lucas