Teorema di Brunn-Minkowski

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In matematica, il teorema di Brunn-Minkowski (o disuguaglianza di Brunn-Minkowski) è una disuguaglianza che mette in relazione volumi (o, più in generale, misure di Lebesgue) di sottoinsiemi compatti di uno spazio euclideo. La versione originale del teorema di Brunn-Minkowski (Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) si applicava a insiemi convessi; la generalizzazione a insiemi compatti non convessi a cui ci riferiamo qui è dovuta a L. A. Lyusternik (1935).

Enunciato del teorema

Sia n ≥ 1 mentre μ denoti la misura di Lebesgue in Rn. Siano A e B due sottoinsiemi compatti non vuoti di Rn. Allora vale la seguente disuguaglianza:

[ μ ( A + B ) ] 1 / n ≥ [ μ ( A ) ] 1 / n + [ μ ( B ) ] 1 / n , {\displaystyle [\mu (A+B)]^{1/n}\geq [\mu (A)]^{1/n}+[\mu (B)]^{1/n},}

dove A + B denota la somma di Minkowski:

A + B := { a + b ∈ R n ∣ a ∈ A ,   b ∈ B } . {\displaystyle A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.}

Osservazioni

La dimostrazione del 'teorema di Brunn-Minkowski stabilisce che la funzione

A ↦ [ μ ( A ) ] 1 / n {\displaystyle A\mapsto [\mu (A)]^{1/n}}

è concava nel senso che, per ogni coppia di sottoinsiemi compatti non vuoti A e B di Rn e per 0 ≤ t ≤ 1, si ha

[ μ ( t A + ( 1 − t ) B ) ] 1 / n ≥ t [ μ ( A ) ] 1 / n + ( 1 − t ) [ μ ( B ) ] 1 / n . {\displaystyle \left[\mu (tA+(1-t)B)\right]^{1/n}\geq t[\mu (A)]^{1/n}+(1-t)[\mu (B)]^{1/n}.}

Per due insiemi convessi A e B, la disuguaglianza nel teorema è stretta per 0 < t < 1 salvo nel caso in cui A e B siano omotetici, ossia uguali per traslazione e trasformazioni in scala.

Bibliografia

  • Brunn, H., Über Ovale und Eiflächen, in Inaugural Dissertation, München, 1887.
  • Werner Fenchel e Bonnesen, Tommy, Theorie der konvexen Körper, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 3, Berlin, 1. Verlag von Julius Springer, 1934.
  • Werner Fenchel e Bonnesen, Tommy, Theory of convex bodies, Moscow, Idaho, L. Boron, C. Christenson and B. Smith. BCS Associates, 1987.
  • Bernard Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, London, Imperial College Press, 2004, ISBN 1-86094-508-2.
  • Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 146, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1.
  • Lazar A. Lyusternik, Die Brunn–Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen, in Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série), III, 1935, pp. 55–58.
  • Hermann Minkowski, Geometrie der Zahlen, Leipzig, Teubner, 1896.
  • Imre Z. Ruzsa, The Brunn–Minkowski inequality and nonconvex sets, in Geometriae Dedicata, vol. 67, n. 3, 1997, pp. 337–348, DOI:10.1023/A:1004958110076, MR 1475877.
  • Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

Voci correlate

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