Superficie di Steiner

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La superficie di Steiner, scoperta dal matematico svizzero Jakob Steiner, è un'immersione auto-intersecante del piano proiettivo reale nello spazio 3-dimensionale, con un inusuale alto grado di simmetria. Questa applicazione non è un'immersione del piano proiettivo; comunque, la figura risultante dalla rimozione di sei punti singolari lo è.

La costruzione più semplice è l'immagine di una sfera centrata nell'origine sotto l'azione della funzione ${\displaystyle f(x,y,z)=(yz,xz,xy)}$. Ciò conduce alla formula implicita:

${\displaystyle x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,}$

Inoltre, parametrizzando la sfera in termini di longitudine (${\displaystyle \theta }$) e latitudine (${\displaystyle \phi }$), si ottengono le seguenti equazioni parametriche per la superficie romana:

${\displaystyle x=r^{2}\cos(\theta )\cos(\phi )\sin(\phi )}$

${\displaystyle y=r^{2}\sin(\theta )\cos(\phi )\sin(\phi )}$

${\displaystyle z=r^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )\cos ^{2}(\phi )}$

L'origine è un punto triplo, e ognuno dei piani ${\displaystyle xy}$, ${\displaystyle yz}$, ${\displaystyle xz}$ è tangente alla superficie in questo punto. Gli altri siti dell'auto-intersezione sono punti doppi, che definiscono segmenti lungo ciascun asse coordinato e terminano in sei punti di schiacciamento. Il gruppo di simmetria della superficie è quello del tetraedro. Più in particolare, sono proiezioni lineari di una immersione in uno spazio a 5 dimensioni, detta superficie di Veronese, che è l'immagine di una sfera regolare centrata nell'origine.

Esistono ${\displaystyle 10}$ tipi di superficie di Steiner (classificate da Coffman, Schwartz e Stanton) fra le quali la cross cap e la superficie romana di Steiner, così chiamata poiché Steiner la scoprì durante il suo soggiorno a Roma nel 1836^[1].

Una superficie di Steiner è un polinomio quadratico ${\displaystyle \,p_{i}=Au^{2}+Buv+Cv^{2}+Du+Ev+F}$ ${\displaystyle (i=0,1,2,3)}$ nelle variabili ${\displaystyle u,v}$ dato superficie nello spazio tridimensionale:: ${\displaystyle \,(x,y,z)=\left({\frac {p_{1}}{p_{0}}},{\frac {p_{2}}{p_{0}}},{\frac {p_{3}}{p_{0}}}\right)}$

Costruzione: dato lo spazio proiettivo reale, si considerino le coordinate omogenee ${\displaystyle \,(u_{0},u_{1},u_{2})}$ nello spazio proiettivo 5-dimensionale, con le coordinate omogenee:

${\displaystyle (u_{0}^{2},u_{1}^{2},u_{2}^{2},u_{1}u_{2},u_{0}u_{2},u_{0}u_{1})}$

Per semplicità considereremo solo il caso per ${\displaystyle r=1}$. Si tracci la sfera individuata dai tre punti ${\displaystyle (x,y,z)}$ tali che

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

Applichiamo ora a questi punti la trasformazione ${\displaystyle T}$, dove ${\displaystyle T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,}$.

In questo modo, otteniamo che

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{aligned}}}$

e perciò ${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0\,}$, che è la tesi voluta.

La superficie romana è data da:

${\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})=(u_{0}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2},u_{1}u_{2},u_{0}u_{2},u_{0}u_{1})}$

In coordinate affini abbiamo:

${\displaystyle \,x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}-xyz=0}$

Altre parametrizzazioni dell'equazione sono dati da:

${\displaystyle x={\frac {s}{1+s^{2}+t^{3}}}}$

${\displaystyle y={\frac {s\cdot t}{1+s^{2}+t^{3}}}}$

${\displaystyle z={\frac {t}{1+s^{2}+t^{3}}},}$

Si consideri ora una sfera di raggio ${\displaystyle r}$, longitudine ${\displaystyle \phi }$, e latitudine ${\displaystyle \theta }$. Allora le sue equazioni parametriche sono

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle z=r\,\sin \theta .}$

Ora, applicando la trasformazione ${\displaystyle T}$ a tutti i punti di questa sfera otteniamo

${\displaystyle x'=yz=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle z'=xy=r^{2}\,\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,}$

che sono i punti della Superficie di Steiner. Sia ${\displaystyle \phi }$ compreso tra ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 2\pi }$, e ${\displaystyle \theta }$ variabile tra ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$.

Ciò risulta dalla parametrizzazione della sfera unitaria

${\displaystyle (x,y,z)=(\cos(u)\cos(v),\sin(u)\cos(v),\sin(v))}$

sotto la trasformazione ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (xy,yz,xz)=(\cos(u)\sin(u){\cos(v)}^{2},\sin(u)\cos(v)\sin(v),\cos(u)\cos(v)\sin(v)).}$

Il cross-cap è dato da:

${\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})=(u_{0}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2},u_{1}u_{2},2u_{0}u_{1},u_{0}^{2}-u_{1}^{2})}$

In coordinate affini:

${\displaystyle \,4x^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2}+z)+y^{2}(y^{2}+z^{2}-1)=0}$

La sfera, prima di essere trasformata, non è omeomorfa col piano proiettivo reale ${\displaystyle RP^{2}}$, mentre la sfera centrata sull'origine possiede questa proprietà: vale a dire che, se i punti ${\displaystyle (x,y,z)}$ appartengono alla sfera, allora anche i punti antipodàli ${\displaystyle (-x,-y,-z)}$ appartengono alla medesima sfera, ma le due triplette di punti sono differenti e sono situati su lati opposti rispetto al centro della sfera.

La trasformazione ${\displaystyle T}$ converte le due triplette di punti antipodali, nel solito punto,

${\displaystyle T:(x,y,z)\rightarrow (yz,zx,xy),}$

${\displaystyle T:(-x,-y,-z)\rightarrow ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy).}$

• Superficie di Boy

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su superficie romana

• Conversione di una Superficie romana di Steiner in una Superficie di Boy, su lutecium.fr. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 9 dicembre 2006).

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