In elettronica e teoria dei segnali un segnale può essere rappresentato come un vettore nello spazio complesso a infinite dimensioni, in particolare uno spazio di Hilbert.
Una volta introdotto l'apparato matematico vettoriale dei segnali nello spazio di Hilbert possiamo definire l'energia di un segnale come:
![{\displaystyle E_{s}=\|\mathbf {s} \|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }s^{2}(t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25100095f6cf58230a8f25f653d0f87b1bd5f91a)
dove
è il segnale. Da notare che le energie non sono additive nello spazio di Hilbert dei segnali, infatti:
![{\displaystyle \|\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\mathbf {s} _{1}+\mathbf {s} _{2}\right]^{2}\,dt=E_{s_{1}}+E_{s_{2}}+2\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13acd89aa664399c9bb2bce896225fce2d0d941d)
dove il termine
è chiamato termine di cross energy. Se il segnale è una tensione allora l'unità di misura dell'energia è
, se invece è una corrente elettrica allora
.
Spettro di potenza
Il prodotto di due segnali, nella teoria vettoriale dei segnali è definito come un prodotto scalare nello spazio di Hilbert:
![{\displaystyle u(t)\cdot v(t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)v(t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7c0eb8ae00925287bfd9f4c764c77c7026f772)
Nell'ambito della teoria spettrale dei segnali tramite la trasformata di Fourier il prodotto dei due segnali si esprime come:
![{\displaystyle u(t)\cdot v(t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)v(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }u(t)\,dt\int _{-\infty }^{\infty }V(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769440251a5e4db39c7e5071c6aca7dd26dc04b0)
dove
sono gli spettri dei segnali
rispettivamente. Cambiamo l'ordine di integrazione:
![{\displaystyle u(t)\cdot v(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }V(\omega )\,d\omega \int _{-\infty }^{\infty }u(t)e^{i\omega t}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85dec404defc0b5c9a57677b32db39ed64a62345)
allora gli spettri dei segnali sono funzioni complesse di
, allora:
![{\displaystyle u(t)\cdot v(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }V(\omega )U^{*}(\omega )\,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da0308a5159ed71327080f39aa1d26c7cb7c2ae2)
che è la formula generalizzata di Rayleigh: il prodotto scalare di due segnali è proporzionale al prodotto scalare dei loro spettri.
Nel caso di un segnale lo spettro di potenza è dato da:
![{\displaystyle |u(t)|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }u^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|U(\omega )|^{2}\,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a956e7146c74ddea220269f611a6bfd272fb4a74)
interpretabile come la somma di infiniti contributi del segnale a diverse frequenze.
Spettro di potenza di un sistema lineare
Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare. In un sistema lineare dinamico l'energia di un segnale è data da:
![{\displaystyle E=|u_{out}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }S_{out}(\omega )S_{out}^{*}(\omega )\,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23f39979a3fc121a217c38411fa18a96f7a0c840)
Se ricordiamo che:
![{\displaystyle S_{out}(\omega )=k(i\omega )S_{in}(\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4f8e2fb9b3e20faacc8b2979abedaacfe20f99)
dove
è la funzione di trasferimento del sistema. Per cui l'energia del segnale:
![{\displaystyle E={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|k(i\omega )|^{2}S_{in}(\omega )S_{in}^{*}(\omega )\,d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30d9921195da5778f82ddcb43efcd0bfaaf2b86)
cioè l'energia del segnale è esprimibile in termini di spettri del segnale.
La quantità:
![{\displaystyle k_{p}(\omega )=|k(i\omega )|^{2}={\frac {W_{out}(\omega )}{W_{in}(\omega )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e594febc99d0729e034e0edcb738f067218ac38d)
è la risposta del sistema all'energia trasferita. La grandezza
.
Voci correlate
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 74439 |
---|