Proprietà di chiusura

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In matematica, si dice che un'operazione ${\displaystyle \#}$ definita su un insieme non vuoto ${\displaystyle X}$ verifica la proprietà di chiusura (detta anche proprietà di stabilità) se:

${\displaystyle \forall \ x,y\in X\ ,\ x\#y\in X}$

ovvero se essa è interna su ${\displaystyle X}$. Alternativamente si dice che l'insieme ${\displaystyle X}$ è chiuso rispetto all'operazione ${\displaystyle \#}$.

Se l'insieme ${\displaystyle X}$ non vuoto è chiuso rispetto a ${\displaystyle \#}$ si dice che la coppia ${\displaystyle (X,\#)}$ ha struttura di gruppoide o magma.

Esempi

L'insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all'addizione ma non lo è rispetto alla sottrazione: assegnata la coppia ordinata di naturali ${\displaystyle (3,5)}$, si ha che ${\displaystyle 3+5}$ è ancora naturale mentre ${\displaystyle 3-5}$ non è elemento di ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

L'insieme dei numeri interi è chiuso rispetto all'addizione e rispetto alla sottrazione: assegnata arbitrariamente la coppia ordinata di interi ${\displaystyle (a,b)}$, si ha che ${\displaystyle a+b}$ è ancora un intero, e così pure ${\displaystyle a-b}$ (${\displaystyle a\pm b\in \mathbb {Z} }$).

Voci correlate

• Magma (matematica)
• Operazione aritmetica
• Operazione interna
• Struttura algebrica
• Chiusura (matematica)
• Chiusura deduttiva

Collegamenti esterni

• (EN) closure, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Proprietà di chiusura, su MathWorld, Wolfram Research.

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