Primitiva (matematica)

In analisi matematica, si dice primitiva o antiderivata di una funzione ${\displaystyle f}$ una funzione derivabile ${\displaystyle F}$ la cui derivata è uguale alla funzione di partenza. Denotando con l'apice la derivata, ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. L'insieme di tutte le primitive di una funzione ${\displaystyle f}$ è detto integrale indefinito di ${\displaystyle f}$.^[1] Il calcolo della primitiva è strettamente legato alla risoluzione degli integrali definiti dal teorema fondamentale del calcolo integrale: infatti, l'integrale di una funzione, se esiste, è uguale alla differenza dei valori della primitiva sugli estremi di integrazione.^[2]

Definizione

Data una funzione ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$, definita su un intervallo ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$, si definisce primitiva una funzione ${\displaystyle F\colon I\to \mathbb {R} }$ tale che

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

per ogni ${\displaystyle x\in I}$.

Se ${\displaystyle F}$ è una primitiva di ${\displaystyle f}$, tutte e sole le primitive di ${\displaystyle f}$ sono nella forma ${\displaystyle F(x)+C}$, dove ${\displaystyle C}$ è una costante arbitraria reale.

L'integrale indefinito di ${\displaystyle f}$ è l'insieme di tutte le sue primitive. Esso si denota con il simbolo

${\displaystyle \int f(x)dx}$

e se ${\displaystyle F}$ è una particolare primitiva di ${\displaystyle f}$, allora

${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$

al variare di ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$.^[1]

Principali primitive

Le singole voci sono elencate nella Categoria:Tavole di integrali.

Un metodo spesso utilizzato per calcolare le primitive di una funzione razionale è la decomposizione in fratti semplici. Per gli altri casi, alcune primitive molto frequenti sono esposte nel seguito:

${\displaystyle \int {x^{a}\,\mathrm {d} x}={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\,\ }$	con ${\displaystyle a\neq -1\,\ }$
${\displaystyle \int {{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}=\ln {|x|}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\mathrm {e} ^{x}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {a^{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C\,\ }$	con ${\displaystyle a>0\,\ }$,${\displaystyle a\neq 1\,\ }$
${\displaystyle \int {\sin {x}}\,\mathrm {d} x=-\cos {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\cos {x}}\,\mathrm {d} x=\sin {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\tan {x}\,\mathrm {d} x}=-\ln {|\cos {x}|}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\cot {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {|\sin {x}|}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\sinh {x}}\,\mathrm {d} x=\cosh {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\cosh {x}}\,\mathrm {d} x=\sinh {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\tanh {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {(\cosh {x})}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\coth {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {|(\sinh {x})|}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{(\cos {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=\tan {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{(\sin {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=-\cot {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{(\cosh {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=\tanh {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{(\sinh {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=-\coth {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\arctan {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}+C\,\ }$	con ${\displaystyle |x|>1\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{}]{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\arcsin {x}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{}]{1+x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\ln {|x+{\sqrt[{}]{1+x^{2}}}|}+C\,\ }$
${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt[{}]{x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x=\ln {|x+{\sqrt[{}]{x^{2}-1}}|}+C\,\ }$	con ${\displaystyle |x|>1\,\ }$

Note

Bibliografia

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.
• (EN) Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
• (EN) Historical Essay On Continuity Of Derivatives, by Dave L. Renfro;

Voci correlate

• Derivata
• Integrale
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Altri progetti

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «primitiva»

Collegamenti esterni

• primitiva, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
• (EN) Antiderivative calculator with step-by-step solutions Archiviato il 23 agosto 2013 in Internet Archive. — supports all common methods and rules of integration
• (EN) Mathematical Assistant on Web — symbolic computations online. Allows to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica