Numero rifattorizzabile

In teoria dei numeri, un numero rifattorizzabile o numero tau è un intero divisibile per il numero dei suoi divisori, ovvero un numero $n$ tale che $\tau (n)|n$ (dove $\tau$ è la funzione dei divisori). I primi numeri rifattorizzabili sono: 1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88 e 96.^[1] Ad esempio, il numero 60 ha 12 divisori ed è divisibile per 12.

Proprietà matematiche

Esistono infiniti numeri rifattorizzabili, sia pari sia dispari.
Se un numero $n$ dispari è rifattorizzabile, lo è anche $2n$ .
I numeri rifattorizzabili hanno una densità asintotica uguale a zero^[2].
Tre numeri interi consecutivi non possono essere tutti rifattorizzabili^[3].
Nessun numero rifattorizzabile può essere anche un numero perfetto.
L'equazione MCD $(n,x)=\tau (n)$ è determinata solo se $n$ è rifattorizzabile.

Ci sono alcuni problemi irrisolti riguardanti i numeri rifattorizzabili. La congettura di Colton afferma che per ogni numero intero $n$ il numero di numeri rifattorizzabili minori o uguali a $n$ è almeno la metà della quantità di numeri primi minori o uguali a $n$ . Zelinsky ha inoltre congetturato che se esiste un numero rifattorizzabile $n_{0}\equiv a\mod m$ , allora deve necessariamente esistere un $n>n_{0}$ tale $n$ è rifattorizzabile e $n\equiv a\mod m$ .

Storia

I numeri rifattorizzabili furono definiti per la prima volta dai matematici Curtis Cooper e Robert E. Kennedy^[2] che dimostrarono che questo insieme ha densità asintotica nulla. Successivamente furono riscoperti dall'informatico Simon Colton, usando un software di sua invenzione, che inventa ed esamina definizioni relative a varie aree della matematica, come la teoria dei numeri e la teoria dei grafi^[4]. È stata una delle prime volte in cui una nuova idea matematica veniva scoperta autonomamente da un computer. Fu Colton a chiamare questi numeri "rifattorizzabili". Colton ha dimostrato che esistono infiniti numeri rifattorizzabili, oltre a diversi teoremi relativi alla loro distribuzione.

Note

^ (EN) Sequenza A033950, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
^ ^a ^b Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. "Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright's Theorem 437." Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383-386, 1990
^ J. Zelinsky, "Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results," Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Articolo 02.2.8
^ S. Colton, "Refactorable Numbers - A Machine Invention," Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Article 99.1.2