Notazione di Leibniz

La notazione di Leibniz per la derivata totale è ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ o anche ${\frac {\operatorname {d} \!f(x)}{\operatorname {d} \!x}}$

Storia

Questa è la più antica notazione di derivata tuttora in uso e fu introdotta da Leibniz tra il 1675 e il 1676; $\operatorname {d} y$ e $\operatorname {d} x$ sono i simboli usati da Leibniz per gli infinitesimi che egli aveva posto alla base del calcolo che fu per questo detto infinitesimale. In un primo tempo aveva indicato l'infinitesimo con $x \over d$ ma poi optò per $\operatorname {d} x$ (leggi de-ics).

Nel XIX secolo gli infinitesimi furono banditi dall'analisi matematica, in seguito alla riformulazione di Augustin Cauchy e Karl Weierstrass basata sul concetto di limite; la notazione di Leibniz avrebbe dovuto di conseguenza essere abbandonata, e in effetti oggi è molto diffusa la meno ingombrante notazione di Lagrange; nonostante questo i simboli $\operatorname {d} y$ , $\operatorname {d} x$ e consimili sono rimasti in uso con il nuovo nome di differenziali sia in matematica sia in fisica.

Con la rifondazione dell'analisi operata da Abraham Robinson, tra il 1960 e il 1966, con il nome di analisi non standard, basata appunto sul ritorno degli infinitesimi, ci si poteva aspettare un rilancio della notazione di Leibniz, ma così non è stato; nei testi di analisi non standard vengono usati di preferenza simboli nuovi (p.es. ε e η per gli infinitesimi) o ancora quello di Lagrange.

La simbologia di Leibniz, inoltre, è la più utilizzata quando si deve rappresentare la derivata parziale. Tale notazione prevede che si sostituisca $\partial$ ^[1] alla classica $d$ , in questo modo:

{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}

Notazione per le derivate successive

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}$ , ${\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}$ , ... ${\frac {\operatorname {d} ^{n}y}{\operatorname {d} x^{n}}}$ .

Per le derivate successive la notazione di Leibniz prevede l'uso di un esponente per la $\operatorname {d}$ al numeratore e per la $x$ al denominatore.

Note

^ Il simbolo corrisponde alla "D" minuscola dell'alfabeto cirillico con grafia corsiva e si legge "de" (si veda Д).

Bibliografia

(EN) Carl B. Boyer (1949), The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, ISBN 0-486-60509-4. Pag. 205.
(EN) Florian Cajori (1929): A history of mathematical notations, Dover. Par. 570