Matrice trasposta coniugata

Disambiguazione – Se stai cercando la trasposta della matrice dei cofattori, vedi matrice dei cofattori.

In algebra lineare, la matrice trasposta coniugata o matrice aggiunta di una matrice a valori complessi è la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complesso coniugato.

Definizione

Data una matrice A {\displaystyle A} , indicando con A T {\displaystyle A^{T}} la sua trasposta e con l'asterisco ∗ {\displaystyle *} l'operazione di coniugazione complessa di tutti i suoi elementi, la trasposta coniugata A † {\displaystyle A^{\dagger }} è data da:

A † = ( A T ) ∗ = ( A ∗ ) T {\displaystyle A^{\dagger }=(A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}}

In termini degli elementi vale la relazione:

( A † ) j k = A k j ∗ {\displaystyle (A^{\dagger })_{jk}=A_{kj}^{*}}

cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna:

A k j ∗ = A j k † {\displaystyle A_{kj}^{*}=A_{jk}^{\dagger }}

Ad esempio:

A = ( 3 + 9 i 2 + i 7 − 6 i 1 − 3 i ) A † = ( 3 − 9 i 7 + 6 i 2 − i 1 + 3 i ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}3+9i&2+i\\7-6i&1-3i\end{pmatrix}}\qquad A^{\dagger }={\begin{pmatrix}3-9i&7+6i\\2-i&1+3i\end{pmatrix}}}

Proprietà

Valgono le seguenti proprietà:

( A † ) † = A ( A + B ) † = A † + B † ( c A ) † = c ∗ ⋅ A † ( A ⋅ B ) † = B † ⋅ A † {\displaystyle \left(A^{\dagger }\right)^{\dagger }=A\qquad \left(A+B\right)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }\qquad \left(cA\right)^{\dagger }=c^{*}\cdot A^{\dagger }\qquad \left(A\cdot B\right)^{\dagger }=B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }}

e in generale:

( A ⋅ B ⋅ C ⋅ D . . . ) † = . . . D † ⋅ C † ⋅ B † ⋅ A † {\displaystyle \left(A\cdot B\cdot C\cdot D...\right)^{\dagger }=...D^{\dagger }\cdot C^{\dagger }\cdot B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }}

Dalle precedenti proprietà si può ricavare

( A † ) − 1 = ( A − 1 ) † = A − † {\displaystyle \left(A^{\dagger }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\dagger }=A^{-\dagger }} ;

infatti

A † ( A † ) − 1 = I n = I n † = ( A − 1 A ) † = A † ( A − 1 ) † . {\displaystyle A^{\dagger }\left(A^{\dagger }\right)^{-1}=I_{n}=I_{n}^{\dagger }=\left(A^{-1}A\right)^{\dagger }=A^{\dagger }\left(A^{-1}\right)^{\dagger }.}

L'uguaglianza segue perciò dall'unicità della matrice inversa.

Denotando con ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot \,,\cdot \rangle } il prodotto hermitiano standard fra vettori di C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} :

⟨ A u , v ⟩ = ⟨ u , A † v ⟩ ⟨ u , A v ⟩ ∗ = ⟨ v , A † u ⟩ {\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle u,A^{\dagger }v\rangle \qquad \langle u,Av\rangle ^{*}=\langle v,A^{\dagger }u\rangle }

Matrici hermitiane

Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice hermitiana.

Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano

ϕ ( u , v ) = ( u , A v ) {\displaystyle \phi (u,v)=(u,Av)}

Ad esempio, dalle proprietà viste in precedenza segue che il numero:

( u , A u ) = ( u , A u ) ∗ {\displaystyle (u,Au)=(u,Au)^{*}}

è reale.

Ogni matrice quadrata complessa A {\displaystyle A} può essere sempre scritta come somma di una matrice hermitiana e una antihermitiana:

A = 1 2 ( A + A † ) + 1 2 ( A − A † ) {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\dagger }\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{\dagger }\right)}

Bibliografia

  • (EN) F.R. Gantmakher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
  • (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Matrice trasposta coniugata, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) T.S. Pogolkina, Adjoint matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
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