Matrice di Cartan

In matematica, il termine matrice di Cartan ha due significati, entrambi ricondotti al matematico francese Élie Joseph Cartan (1869-1951). Tale termine viene assunto come esempio di legge dell'eponimia di Stigler: infatti le matrici di Cartan nel contesto delle algebre di Lie furono inizialmente studiate dal matematico tedesco Wilhelm Killing, mentre il cosiddetto modello di Killing è dovuto ad Élie Cartan.

Algebre di Lie

Una matrice di Cartan generalizzata è una matrice quadrata $A=(a_{ij})$ con entrate numeri interi tali che:

per entrate diagonali $a_{ii}=2;$
per entrate non diagonali $a_{ij}\leq 0;$
$a_{ij}=0$ se e solo se $a_{ji}=0;$
$A$ può essere scritta come $DS$ , dove $D$ è una matrice diagonale e $S$ è una matrice simmetrica.

La terza condizione non è indipendente, poiché è una conseguenza della prima e della quarta condizione.

È sempre possibile scegliere una matrice $D$ con entrate diagonali positive. In tal caso, se $S$ nella summenzionata scomposizione è una matrice definita positiva, allora $A$ è detta matrice di Cartan.

La matrice di Cartan di una algebra di Lie semplice è la matrice i cui elementi sono i prodotti scalari

a_{ij}={\frac {2(r_{i},r_{j})}{(r_{i},r_{i})}}

dove $r_{i}$ sono le radici semplici dell'algebra. Gli elementi sono interi per una delle proprietà delle radici. La prima condizione segue dalla definizione, la seconda dal fatto che per $i\neq j$ , il vettore

v_{r_{i}}(r_{j})=r_{j}-{\frac {2(r_{i},r_{j})}{(r_{i},r_{i})}}\,r_{i}

è una radice che è una combinazione lineare delle radici semplici $r_{i}$ e $r_{j}$ con un coefficiente positivo per $r_{i}$ e quindi il coefficiente per $r_{i}$ deve essere non negativo.

La terza è vera perché l'ortogonalità è una relazione simmetrica. E infine, siano $D_{ij}={\tfrac {\delta _{ij}}{(r_{i},r_{i})}}$ e $S_{ij}=2(r_{i},r_{j})$ . Poiché le radici semplici si estendono in uno spazio euclideo, la matrice $S$ è definita positiva.

Rappresentazione delle algebre a dimensione finita

Nella teoria delle rappresentazioni modulari, e più in generale nella teoria delle rappresentazioni delle algebre di dimensioni finite $A$ che sono non semisemplici, una matrice di Cartan viene definita considerando un numero (limitato) di moduli non scomponibili e scrivendo serie di componenti per essi in termini di moduli proiettivi, ottenendo una matrice di interi che contano il numero di eventi di un modulo proiettivo.

Bibliografia

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