Lemma di Itō

In matematica, il lemma di Itō ("Formula di Itō") è usato nel calcolo stocastico al fine di computare il differenziale di una funzione di un particolare tipo di processo stocastico. Trova ampio impiego nella matematica finanziaria.

Il lemma è un'estensione dello sviluppo in serie di Taylor che si usa per funzioni deterministiche, ossia senza termine casuale, ed è applicabile per una funzione stocastica, ossia con un termine in dW. Tale termine non è un differenziale esatto e rappresenta la componente casuale di una variabile aleatoria. dW è l'abbreviazione che indica un processo di Wiener, usato per rappresentare il moto delle particelle nella teoria cinetica dei gas. In frazioni piccole a piacere della variabile temporale, una grandezza di questo tipo manifesta comunque un'elevata variabilità.

Dal lemma di Itō si ricava l'integrale di Itō, che estende e generalizza l'integrale di Riemann per funzioni stocastiche. Diversamente dall'integrale di Riemann, non ha un significato geometrico, non è un'area.

Enunciato del lemma

Sia x ( t ) {\displaystyle x(t)} un processo di Itō (o processo di Wiener generalizzato); in altre parole, x ( t ) {\displaystyle x(t)} soddisfa l'equazione differenziale stocastica:

d x ( t ) = a ( x , t ) d t + b ( x , t ) d W t {\displaystyle dx(t)=a(x,t)dt+b(x,t)dW_{t}}

Sia inoltre una funzione f {\displaystyle f} , avente derivata seconda continua. Allora:

  • f ( x ( t ) , t ) {\displaystyle f(x(t),t)} è ancora un processo di Itō;
  • Si ha:
d f ( x ( t ) , t ) = ( a ( x , t ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ t + 1 2 ( b ( x , t ) ) 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ) d t + b ( x , t ) ∂ f ∂ x d W t {\displaystyle df(x(t),t)=\left(a(x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}(b(x,t))^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+b(x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}dW_{t}}

Giustificazione informale del risultato

Tramite un'espansione in serie di Taylor di   f ( x ( t ) , t ) {\displaystyle \ f(x(t),t)} si ottiene:

d f = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ t d t + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 d x 2 + ⋯ {\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+\cdots }

Sostituendo d x {\displaystyle dx} dalla SDE sopra si ha:

d f = ∂ f ∂ x ( a d t + b d W t ) + ∂ f ∂ t d t + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ( a 2 d t 2 + 2 a b d t d W t + b 2 d W t 2 ) + ⋯ {\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}(adt+bdW_{t})+{\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(a^{2}dt^{2}+2ab\,dt\,dW_{t}+b^{2}dW_{t}^{2}\right)+\cdots }

Lo sviluppo in serie di Taylor viene di solito troncato al primo ordine; già questo consente una buona approssimazione della funzione di partenza. In questo caso, bisogna considerare che i termini in d W 2 {\displaystyle dW^{2}} vanno come quelli in d t 1 {\displaystyle dt^{1}} ; avendo lo stesso ordine di grandezza troncando al primo ordine, devono essere considerati anche i termini in d W 2 {\displaystyle dW^{2}} . Passando al limite per d t {\displaystyle dt} tendente a 0, i termini d t d W t , d t 2 {\displaystyle dtdW_{t},dt^{2}} scompaiono. Infatti, nei limiti infinitesimi (a zero) prevale la potenza con esponente più basso, che arriva a zero più lentamente degli altri termini. Per contro ( d W t ) 2 {\displaystyle (dW_{t})^{2}} tende a d t {\displaystyle dt} ; quest'ultima proprietà può essere dimostrata provando che:

d W 2 = E ( d W 2 ) {\displaystyle dW^{2}={\textrm {E}}\left(dW^{2}\right)} se E ( d W 2 ) = d t {\displaystyle {\textrm {E}}\left(dW^{2}\right)=dt}

Sostituendo questi risultati nell'espressione per d f {\displaystyle df} si ottiene:

d f = ( a ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ t + 1 2 b 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ) d t + b ∂ f ∂ x d W t {\displaystyle df=\left(a{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}b^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+b{\frac {\partial f}{\partial x}}dW_{t}}

come richiesto. Una dimostrazione formale di questo risultato richiede la definizione di un integrale stocastico.

Bibliografia

  • (EN) Kiyoshi Itō (1944). Stochastic Integral. Proc. Imperial Acad. Tokyo 20, 519-524. This is the paper with the Ito Formula; Online Archiviato il 3 marzo 2016 in Internet Archive.
  • (EN) Kiyoshi Itō (1951). On stochastic differential equations. Memoirs, American Mathematical Society 4, 1–51. Online
  • (EN) Hagen Kleinert (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN 981-238-107-4. Also available online: PDF-files. This textbook also derives generalizations of Itō's lemma for non-Wiener (non-Gaussian) processes.
  • (EN) Bernt Øksendal (2000). Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, 5th edition, corrected 2nd printing. Springer. ISBN 3-540-63720-6. Sections 4.1 and 4.2.
  • (EN) Domingo Tavella (2002). Quantitative Methods in Derivatives Pricing: An Introduction to Computational Finance, John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-27479-7. Pages 36–39.

Voci correlate

  • Differenziale (matematica)
  • Integrale di Itō
  • Processo di Wiener
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