Identità dei quattro quadrati di Eulero

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In matematica, l'identità dei quattro quadrati di Eulero afferma che il prodotto di due numeri, ognuno dei quali scrivibile come somma di quadrati, si può scrivere come somma di quadrati. In particolare:

(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=

=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}

+\,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}

Eulero scrisse di quest'identità il 12 aprile 1749 nella lettera CXXV a Goldbach. Essa si può dimostrare con semplici passaggi di algebra elementare ed è valida in ogni anello commutativo. Se le a e le b sono numeri reali, esiste una dimostrazione più elegante: l'identità esprime il fatto che il valore assoluto del prodotto di due quaternioni è uguale al prodotto dei loro valori assoluti, così come fa l'identità di Brahmagupta per i numeri complessi.

L'importanza di questa identità nell'ambito della teoria dei numeri è legata al suo uso nella dimostrazione di Lagrange del suo teorema dei quattro quadrati.