Funzione trascendente di Lerch

In matematica, la funzione trascendente di Lerch è una generalizzazione della funzione zeta di Hurwitz e della funzione polilogaritmo. Fu studiata da Lipschitz nel 1857 e poi da Lerch nel 1887.

È definita con la serie:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\dfrac {z^{n}}{(a+n)^{s}}},}$

con ${\displaystyle z,s\in \mathbb {C} ,a\notin \mathbb {Z} _{\leq 0}}$. La serie è convergente per ${\displaystyle |z|<1}$. Per ${\displaystyle |z|=1}$, la serie è convergente solamente per ${\displaystyle \mathrm {Re} \ s>1}$.

Ovviamente:

${\displaystyle \Phi (1,s,a)=\zeta (s,a)}$, la funzione zeta di Hurwitz.

Per ${\displaystyle a=1}$, si ha ${\displaystyle z\Phi (z,s,1)=\operatorname {Li_{s}} (z)}$, la funzione polilogaritmo.

È possibile dimostrare che:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}dt}$

sviluppando ${\displaystyle {\dfrac {1}{1-ze^{-t}}}=1+ze^{-t}+z^{2}e^{-2t}+\ldots }$.

La funzione zeta di Lerch è definita come

${\displaystyle L(x)=\Phi (e^{i2\pi x},a,s)}$.

• (FR) M. Lerch Note sur la function ${\displaystyle {R}(w,x,s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{2k\pi ix}}{(w+k)^{s}}}}$, Acta Mathematica 11, 19 (1887).
• (DE) R. Lipschitz Untersuchung einer aus vier Elementen gebildeten Reihe. Journal für die reine und angewandte Mathematik 54 313 (1857).
• (DE) R. Lipschitz Untersuchung der Eigenschaften einer Gattung von unendlichen Reihen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 105 127 (1889).
• (EN) T. Apostol On the Lerch zeta function. Pacific J. Math. 1, 161 (1951).
• Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. " Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 27–31, 1981.

• Wolfram function site Funzione di Lerch
• MathWorld Funzione di Lerch
• Marco Dalai Recurrence relations for the Lerch Phi function and applications

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica