Funzione indicatrice

Disambiguazione – Se stai cercando la funzione indicatrice in teoria della probabilità, vedi funzione caratteristica (teoria della probabilità).

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In matematica, nel campo della teoria degli insiemi, se ${\displaystyle A}$ è un sottoinsieme dell'insieme ${\displaystyle X}$, la funzione indicatrice, o funzione caratteristica di ${\displaystyle A}$ è quella funzione da ${\displaystyle X}$ all'insieme ${\displaystyle \{0,1\}}$ che sull'elemento ${\displaystyle x\in X}$ vale ${\displaystyle 1}$ se ${\displaystyle x}$ appartiene ad ${\displaystyle A}$, e vale ${\displaystyle 0}$ in caso contrario.

Definizione

La funzione indicatrice di un sottoinsieme ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle X}$ è una funzione

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace }$

definita come

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A\\0&{\mbox{se}}\ x\notin A\end{matrix}}\right.}$

La funzione indicatrice di ${\displaystyle A}$ è talvolta indicata con ${\displaystyle \chi _{A}(x)}$ oppure ${\displaystyle I_{A}(x).}$

Proprietà fondamentali

La funzione che associa un sottoinsieme ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle X}$ alla sua funzione indicatrice ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ è iniettiva; il suo codominio è l'insieme delle funzioni ${\displaystyle \mathbf {f} \colon X\to \{0,1\}.}$

Se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono due sottoinsiemi di ${\displaystyle X,}$ allora

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B}\qquad {\mbox{e}}\qquad \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B}.}$

Più in generale, supponiamo che ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ sia una collezione di sottoinsiemi di ${\displaystyle X.}$ Per ogni ${\displaystyle x\in X}$ si ha che il prodotto

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$

è chiaramente un prodotto di ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1.}$ Questo prodotto ha il valore ${\displaystyle 1}$ proprio in corrispondenza degli ${\displaystyle x\in X}$ che non appartengono a nessuno degli insiemi ${\displaystyle A_{k}}$ ed è ${\displaystyle 0}$ altrove. Cioè

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$

Sviluppando il prodotto a destra e a sinistra,

${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\varnothing \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$

Dove ${\displaystyle |F|}$ è la cardinalità di ${\displaystyle F.}$ Questa è una delle forme del principio di inclusione-esclusione.

Come suggerito dal precedente esempio, la funzione indicatrice è uno strumento utile nella combinatoria. La notazione è usata in altri casi, ad esempio in teoria della probabilità: se ${\displaystyle X}$ è uno spazio di probabilità con misura di probabilità ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle A}$ è un insieme misurabile, allora ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ diventa una variabile casuale la cui media è uguale alla probabilità di ${\displaystyle A:}$

${\displaystyle E(\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,dP=\int _{A}dP=P(A).}$

Questa identità è usata in una dimostrazione semplice della disuguaglianza di Markov.

Se ${\displaystyle A}$ è l'insieme di tutti i numeri positivi di ${\displaystyle X}$ compreso lo zero se ne è incluso allora si può scrivere

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\mathbf {1} _{X^{+}}(x)=\mathrm {sgn} \left(\mathrm {sgn} (x)+1\right).}$

Analisi convessa

In analisi convessa, una branca dell'analisi matematica che studia funzioni e insiemi convessi, spesso con applicazioni alla teoria dell'ottimizzazione, si utilizza un'altra definizione di funzione indicatrice, che si rivela più utile per gli strumenti della disciplina: una funzione indicatrice è qui rappresentata da una ${\displaystyle \chi _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ tale che

${\displaystyle \chi _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}}$

Rispetto alla funzione indicatrice prima definita ha questo rapporto:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)={\frac {1}{1+\chi _{A}(x)}}}$

e

${\displaystyle \chi _{A}(x)=(+\infty )\left(1-\mathbf {1} _{A}(x)\right)}$

relazioni valide ponendo per convenzione ${\displaystyle {1 \over 0}=+\infty }$ e ${\displaystyle {1 \over +\infty }=0}$.

Voci correlate

• Parentesi di Iverson

Collegamenti esterni

• Indicatrice, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• Funzione indicatrice, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• Funzione caratteristica, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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