Funzione beta di Eulero

La funzione beta di Eulero, detta anche integrale di Eulero del primo tipo, è data dall'integrale definito:

\beta (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,

dove sia $x$ che $y$ hanno parte reale positiva e non nulla (in caso contrario, l'integrale divergerebbe). Questa funzione fu studiata per primo da Eulero e da Legendre, ma fu Jacques Binet a battezzarla con il suo nome attuale.

Caratteristiche

È una funzione simmetrica, cioè il suo valore non cambia scambiando $x$ e $y$ :

\beta (x,y)=\beta (y,x).

Inoltre valgono anche le due seguenti identità:

\beta (1,1)=1;

\beta \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=\pi .

La funzione beta si può scrivere in molti modi, di cui i più comuni sono i seguenti:

\beta (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}};

\beta (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad \Re (x)>0,\,\Re (y)>0;

\beta (x,y)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad \Re (x)>0,\,\Re (y)>0;

\beta (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\dfrac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}};

dove $\Gamma (x)$ è la funzione Gamma e $(x)_{n}$ è il fattoriale discendente, cioè $x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)$ . In particolare, combinando la prima e la seconda forma si dimostra che $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$ .

Così come la funzione gamma descrive i fattoriali dei numeri interi, cioè se l'argomento è un numero intero $n$ il suo risultato è il fattoriale di $n-1$ , la funzione beta (con un piccolo aggiustamento degli indici) descrive i coefficienti binomiali; più precisamente è

{\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\operatorname {B} (n-k+1,k+1)}}.

La funzione beta è stato il primo modello di matrice S nella teoria delle stringhe, congetturato per la prima volta da Gabriele Veneziano.

Relazioni fra la funzione gamma e la funzione beta

Per ricavare la forma integrale della funzione beta, si può scrivere il prodotto di due fattoriali come:

\Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{+\infty }e^{-u}u^{x-1}\mathrm {d} u\int _{0}^{+\infty }e^{-v}v^{y-1}\mathrm {d} v.

Ora poniamo $u\equiv a^{2}$ , $v\equiv b^{2}$ in modo che:

{\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=4\int _{0}^{+\infty }e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{+\infty }e^{-b^{2}}b^{2y-1}\mathrm {d} b\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b.\end{aligned}}

Trasformiamo in coordinate polari con $a=r\cos \theta$ , $b=r\sin \theta$ :

{\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =\\&=\int _{0}^{+\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }|\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta |\,\mathrm {d} \theta =\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,\mathrm {d} (r^{2})\,\cdot 4\int _{0}^{\pi /2}\ \cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,\mathrm {d} \theta =\\&=2\Gamma (x+y)\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,\mathrm {d} \theta =\\&=\Gamma (x+y)\beta (x,y).\end{aligned}}

e quindi riscriviamo gli argomenti nella forma solita della funzione beta:

\beta (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.

Derivata

La derivata della funzione beta può essere scritta sfruttando, di nuovo, la funzione gamma:

{\partial \over \partial x}\beta (x,y)=\beta (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\beta (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),

dove $\psi (x)$ è la funzione digamma.

Integrali

L'integrale di Nörlund-Rice è un integrale di circuitazione che coinvolge la funzione beta.

Funzione beta incompleta

La funzione beta incompleta è una generalizzazione della funzione beta che sostituisce l'integrale definito della funzione beta con un integrale indefinito. È una generalizzazione del tutto analoga a quella della funzione gamma (la funzione gamma incompleta).

La funzione beta incompleta è definita come:

\beta (x;a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,\mathrm {d} t.

Per $x=1$ , la funzione beta incompleta ridiventa la normale funzione beta.

La funzione beta incompleta regolarizzata (o più brevemente funzione beta regolarizzata) è definita in termini di entrambe le due:

I_{x}(a,b)={\dfrac {\beta (x;a,b)}{\beta (a,b)}}.

Calcolando l'integrale per valori interi di $a$ e $b$ , si ottiene:

I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.

Valgono le seguenti identità:

I_{0}(a,b)=0;

I_{1}(a,b)=1;

I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a).

Bibliografia

(EN) E. T. Whittaker e G. N. Watson, A course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1915, p. 247.
(EN) T. M. MacRobert, Functions of a complex variable, Londra, MacMillan, 1917, p. 144.
(EN) M. Abramowitz e I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Washington, Governement Printing Office, 1964. [1] (funzione beta) p. 263 (funzione beta incompleta)