Formula di Eulero-Maclaurin

Nel calcolo infinitesimale la formula di Eulero-Maclaurin fornisce un collegamento di grande utilità tra il calcolo degli integrali (vedi calcolo infinitesimale) e il calcolo di somme e serie. Essa si può usare per approssimare integrali mediante somme finite e viceversa per valutare somme finite e somme di serie a partire da valori di integrali definiti ottenuti analiticamente o mediante approssimazioni ottenute usando il computer. In particolare da questa formula si deducono molti sviluppi asintotici e la formula di Falhauber per la somma di potenze di interi è una sua immediata conseguenza.

La formula è stata scoperta indipendentemente da Leonhard Euler e Colin Maclaurin attorno al 1735. Euler l'ha trovata mentre cercava di calcolare serie infinite lentamente convergenti, mentre Maclaurin l'ha utilizzata per calcolare degli integrali specifici. Questa formula è stata generalizzata nel 1886 da Gaston Darboux (v. Formula di Darboux).

La formula

Se n è un intero positivo e f(x) è una funzione liscia (cioè una funzione differenziabile un numero sufficientemente elevato di volte) definita per tutti i numeri reali x tra 0 e n, allora l'integrale

I = ∫ 0 n f ( x ) d x {\displaystyle I=\int _{0}^{n}f(x)\,dx}

può essere approssimato con la somma

S = f ( 0 ) / 2 + f ( 1 ) + ⋯ + f ( n − 1 ) + f ( n ) / 2 {\displaystyle S=f(0)/2+f(1)+\cdots +f(n-1)+f(n)/2}

(vedi regola del trapezio). La formula di Euler - Maclaurin fornisce espressioni per la differenza tra la somma e l'integrale in termini di derivate di ordine elevato f(k) nei punti finali dell'intervallo 0 e n. Per ogni numero naturale p, abbiamo

S − I = ∑ k = 1 p B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( n ) − f ( 2 k − 1 ) ( 0 ) ) + R {\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R}

dove B2 = 1/6, B4 = -1/30, B6 = 1/42, B8 = -1/30... sono i numeri di Bernoulli.

R è un termine di errore che è normalmente piccolo se p è abbastanza grande e può essere stimato come

| R | ≤ 2 ( 2 π ) 2 p ∫ 0 n d x | f ( 2 p + 1 ) ( x ) | . {\displaystyle \left|R\right|\leq {\frac {2}{(2\pi )^{2p}}}\int _{0}^{n}dx\,\left|f^{(2p+1)}(x)\right|.}

Impiegando la regola di sostituzione, si può adattare questa formula anche a funzioni che sono definite su qualche intervallo della retta reale diverso da [ 0 , n ] {\displaystyle [0,n]} .

Se f è un polinomio e p è un intero abbastanza grande, allora il termine residuo vale zero. Per esempio, se f(x) = x3, può essere scelto p = 2 per ottenere dopo la semplificazione

∑ i = 0 n i 3 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 . {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}

Con la funzione f(x) = log(x), la formula di Eulero-Maclaurin può essere usata per derivare con precisione l'errore stimato per l'approssimazione di Stirling della funzione fattoriale.

Bibliografia

Collegamenti esterni

  • Bernoulli numbers, polynomials and applications of the Euler-Maclaurin formula, su numbers.computation.free.fr.
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