Forme di Chern-Simons

In matematica, le forme di Chern-Simons sono certe classi caratteristiche secondarie. Sono sembrate utili nella teoria di gauge, e (soprattutto la terza forma) costituiscono il fondamento della teoria di Chern-Simons che deve il suo nome ai due autori Shiing-Shen Chern e James Harris Simons.

Data una varietà di 1-forma A a valori in un'algebra di Lie, si può definire una famiglia di p-forme:

In una dimensione, la 1-forma di Chern-Simons viene data da:

${\displaystyle Tr[\mathbf {A} ]}$.

In tre dimensioni, la 3-forma di Chern-Simons viene data da:

${\displaystyle Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} ]}$.

In cinque dimensioni, la 5-forma di Chern-Simons viene data da:

${\displaystyle Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} ]}$

dove si definisce la curvatura come:

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$.

La forma generale di Chern-Simons ω_2k-1 si definisce in maniera tale che dω_2k-1 = Tr (F^k) dove si utilizza per definire F^k il prodotto wedge.

Vedere la teoria di gauge per maggiori dettagli.

In generale, la p-forma di Chern-Simons si definisce per ogni p dispari. Vedere la teoria di gauge per le definizioni. Il suo integrale su una varietà p-dimensionale è un invariante di omotopia. Questo valore si chiama numero di Chern.

• Chern, S.-S.; Simons, J (1974), Characteristic forms and geometric invariants, The Annals of Mathematics, Second Series 99 (1): 48-69
• Pilo Luigi, ChernSimons field theory and invariants of 3manifolds, Scuola Normale Superiore (collana Tesi), pag 222, 1999, ISBN 978-88-7642-278-2

• Algebra di Grassmann
• Forma differenziale
• Teoria di gauge

• Formulazione di Chern-Simons per la Gravità Affine (PDF), su theory.fi.infn.it. URL consultato il 10 aprile 2009 (archiviato dall'url originale il 10 maggio 2006).

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