Figura di Lissajous

Figura di Lissajous su un vettorscopio
Figura di Lissajous in tre dimensioni

In matematica e in fisica, per figura di Lissajous si intende il grafico di una curva data dal sistema di equazioni parametriche

x = A x sin ⁡ ( ω x t + ϕ x ) , y = A y sin ⁡ ( ω y t + ϕ y ) , {\displaystyle x=A_{x}\sin(\omega _{x}t+\phi _{x}),\quad y=A_{y}\sin(\omega _{y}t+\phi _{y}),}

dove A x {\displaystyle A_{x}} e A y {\displaystyle A_{y}} sono le ampiezze, ω x {\displaystyle \omega _{x}} e ω y {\displaystyle \omega _{y}} sono le pulsazioni e ϕ x {\displaystyle \phi _{x}} e ϕ y {\displaystyle \phi _{y}} sono le fasi di due moti oscillatori ortogonali.

Tali curve sono state studiate in dettaglio dal fisico Jules Antoine Lissajous (1822 - 1880). In precedenza, nell'anno 1815, erano state oggetto di studio dell'astronomo americano Nathaniel Bowditch (1773 - 1838), motivo per cui sono chiamate anche figure di Bowditch.

L'aspetto di queste figure è molto sensibile al rapporto ω x ω y {\displaystyle {\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}} tra le due pulsazioni.

In particolare, quando tale rapporto è pari a uno, la figura risulta essere, in generale, un'ellisse, che diventa una circonferenza nel caso in cui sia anche A x = A y {\displaystyle A_{x}=A_{y}} , ϕ x = − π 2 {\displaystyle \phi _{x}=-{\frac {\pi }{2}}} e ϕ y = 0 {\displaystyle \phi _{y}=0} (moti oscillatori tra loro in quadratura), o degenera a un segmento nel caso in cui sia anche ϕ x = 0 {\displaystyle \phi _{x}=0} , ϕ y = 0 {\displaystyle \phi _{y}=0} (moti oscillatori tra loro in fase). Un'altra semplice figura di Lissajous è la parabola, che si ottiene quando ω x ω y = 2 {\displaystyle {\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}=2} e ϕ x = 0 {\displaystyle \phi _{x}=0} , ϕ y = 0 {\displaystyle \phi _{y}=0} . Altri rapporti producono curve più complicate, che sono chiuse solo se il rapporto ω x ω y {\displaystyle {\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}} è razionale. La forma di queste curve spesso ricorda un nodo tridimensionale, e in effetti molti tipi di nodi, quando vengono proiettati su un piano, diventano figure di Lissajous.

Seguono alcuni esempi di figure di Lissajous con ϕ x = π 2 {\displaystyle \phi _{x}={\frac {\pi }{2}}} e ϕ y = 0 {\displaystyle \phi _{y}=0} .

  • '"`UNIQ--postMath-00000014-QINU`"'
    ω x = 1 , ω y = 2 {\displaystyle \omega _{x}=1,\omega _{y}=2}
  • '"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"'
    ω x = 3 , ω y = 2 {\displaystyle \omega _{x}=3,\omega _{y}=2}
  • '"`UNIQ--postMath-00000016-QINU`"'
    ω x = 3 , ω y = 4 {\displaystyle \omega _{x}=3,\omega _{y}=4}
  • '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"'
    ω x = 5 , ω y = 4 {\displaystyle \omega _{x}=5,\omega _{y}=4}
  • '"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"'
    ω x = 5 , ω y = 6 {\displaystyle \omega _{x}=5,\omega _{y}=6}
  • '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"'
    ω x = 9 , ω y = 8 {\displaystyle \omega _{x}=9,\omega _{y}=8}

Voci correlate

  • Glossario di trigonometria
  • Oscilloscopio
  • Armonografo
  • Spirograph

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Collegamenti esterni

  • COURBE DE LISSAJOUS nella Encyclopédie des formes mathématiques remarquables
  • Lissajous Curve in MathWorld
  • Animated Lissajous figures in Java
  • About the Australian Broadcasting Corporation logo, su abc.net.au. URL consultato il 13 dicembre 2005 (archiviato dall'url originale il 14 settembre 2005).
  • About the MIT Lincoln Laboratory logo, su ll.mit.edu. URL consultato il 13 dicembre 2005 (archiviato dall'url originale il 25 ottobre 2005).
  • QLiss3D software libero per la mostra delle figure di Lissajous in 3 dimensioni
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