Disequazione trigonometrica

In matematica, le disequazioni trigonometriche o goniometriche sono disequazioni del tipo ${\displaystyle f(x)<g(x)}$ oppure ${\displaystyle f(x)>g(x)}$ in cui almeno una delle funzioni ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ contenga l'incognita come argomento di una funzione trigonometrica (come ad esempio il seno, il coseno, la tangente, l'arcotangente, ecc.).^[1]

Non è una disequazione trigonometrica ad esempio ${\displaystyle 6x^{2}-7x+\sin \left({\frac {\pi }{8}}\right)>0,}$ dal momento che l'argomento del seno è una costante.

Un esempio di disequazione trigonometrica è:

${\displaystyle \sin x-{\frac {1}{2}}>0.}$

Questa disequazione, molto elementare, si risolve facilmente sulla circonferenza goniometrica, cercando tutti i valori del seno maggiori di ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, e cioè^[2]:

${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}+2k\pi <x<{\frac {5\pi }{6}}+2k\pi ,}$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

I metodi risolutivi per una disequazione goniometrica dipendono dal tipo di disequazione^[3][4]; dato che le equazioni goniometriche possono essere elementari, lineari, omogenee, etc, così lo sono anche le disequazioni: se la disequazione è di tipo elementare (come nell'esempio sopra) può essere risolta con il metodo grafico utilizzando la circonferenza goniometrica; se è lineare, vengono usate le formule parametriche di seno e coseno, che consentono di esprimere entrambe queste due funzioni in dipendenza dalla tangente dell'angolo dimezzato, o il metodo di sostituzione; se sono omogenee si può ricorrere alla relazione fondamentale della trigonometria, cioè ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.}$ Naturalmente essa è utile in caso in cui la funzione trigonometrica abbia una potenza di ordine pari.

Si possono anche usare, a seconda dei casi e della convenienza, le formule di bisezione, di duplicazione, le formule di Werner e le formule di prostaferesi.

Si risolva la disequazione:

${\displaystyle \sin ^{2}x-\cos x-1<0.}$

Basta porre ${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x,}$ e la disequazione da risolvere diventa ${\displaystyle \cos ^{2}x+\cos x>0,}$ che si risolve normalmente ponendo ad esempio ${\displaystyle \cos x=y.}$ Bisogna quindi trovare le soluzioni di ${\displaystyle y^{2}+y>0,}$ che è risolta per ${\displaystyle y<-1\lor y>0.}$ Per concludere basta riportare al posto della ${\displaystyle y}$ il coseno di ${\displaystyle x,}$ il che diventa:

${\displaystyle \cos x<-1\lor \cos x>0.}$

Tenendo conto del fatto che il coseno è una funzione limitata tra ${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle 1}$ e quindi ${\displaystyle \cos x<-1}$ non ha soluzioni, le soluzioni sono ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}+2k\pi <x<{\frac {\pi }{2}}+2k\pi ,}$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-801-3037-6.
• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (seconda edizione) Vol.4, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-84542-9.

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