Covarianza (probabilità)

In statistica e in teoria della probabilità, la covarianza di due variabili statistiche o variabili aleatorie è un valore numerico che fornisce una misura di quanto le due varino assieme.

Probabilità

Definizione

La covarianza di due variabili aleatorie ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ è il valore atteso del prodotto delle loro distanze dalla media:

${\displaystyle \mathrm {Cov} (X,Y)=\mathbb {E} {\Big [}{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}(Y-\mathbb {E} [Y]{\big )}{\Big ]}.}$

La covarianza di ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ può anche essere espressa come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi:

${\displaystyle \mathrm {Cov} (X,Y)=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].}$

Infatti per la linearità del valore atteso risulta

${\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}XY-X\mathbb {E} [Y]-\mathbb {E} [X]Y+\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]{\Big ]}=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]+\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].}$

Proprietà

La covarianza rispetta le seguenti proprietà, per variabili aleatorie ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle Z}$, e costanti ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$:

• ${\displaystyle {\text{Cov}}(X,Y)={\text{Cov}}(Y,X)\ }$
• ${\displaystyle {\text{Cov}}(aX+b,Y)=a{\text{Cov}}(X,Y)\ }$
• ${\displaystyle {\text{Cov}}(X+Y,Z)={\text{Cov}}(X,Z)+{\text{Cov}}(Y,Z)\ }$

Due variabili aleatorie indipendenti hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue

${\displaystyle \mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].}$

Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono incorrelate.

Due variabili aleatorie dipendenti possono essere incorrelate. Ad esempio, se ${\displaystyle X}$ è una variabile aleatoria di legge uniforme sull'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ e ${\displaystyle Y=X^{2}}$, allora

${\displaystyle \textstyle {\text{Cov}}(X,Y)={\text{Cov}}(X,X^{2})=\mathbb {E} [X^{3}]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X^{2}]=0-0\mathbb {E} [X^{2}]=0.}$

Varianza

La covarianza può essere considerata una generalizzazione della varianza

${\displaystyle {\text{Var}}(X)={\text{Cov}}(X,X)\ }$

e compare come termine di correzione nella relazione

${\displaystyle {\text{Var}}(X+Y)={\text{Var}}(X)+{\text{Var}}(Y)+2{\text{Cov}}(X,Y).}$

Più in generale, per variabili aleatorie ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ e ${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{m}}$ vale

${\displaystyle \textstyle {\text{Var}}(\sum _{i}X_{i})={\text{Cov}}(\sum _{i}X_{i},\sum _{j}X_{j})=\sum _{i,j}{\text{Cov}}(X_{i},X_{j})=\sum _{i}{\text{Var}}(X_{i})+2\sum _{i>j}{\text{Cov}}(X_{i},X_{j}),}$

come caso particolare di

${\displaystyle \textstyle {\text{Cov}}\left(\sum _{i}X_{i},\sum _{j}Y_{j}\right)=\sum _{i,j}{\text{Cov}}(X_{i},Y_{j}).}$

Statistica

In statistica la covarianza di due variabili statistiche ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, indicata come ${\displaystyle \textstyle \sigma _{X,Y}={\text{Cov}}(X,Y)}$, è un indice di variabilità congiunta.

Su una popolazione di ${\displaystyle N}$ osservazioni congiunte ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$, di rispettive medie ${\displaystyle {\bar {x}}}$ e ${\displaystyle {\bar {y}}}$, la covarianza osservata è

${\displaystyle \sigma _{X,Y}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}y_{i}-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}\right).}$

Uno stimatore della covarianza di ${\displaystyle n}$ osservazioni congiunte ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ può essere ottenuto correggendo la formula della covarianza, dividendo per il numero di gradi di libertà. In questo caso il numero di gradi di libertà è dato dal numero delle osservazioni, ${\displaystyle n}$, a cui va sottratto il numero di stimatori utilizzati nel computo della covarianza. Nella covarianza entrano le medie campionarie delle ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$, e si può dimostrare che il computo di queste medie corrisponde alla sottrazione di 1 solo grado di libertà (non due, come ci si potrebbe aspettare). Perciò lo stimatore della covarianza è dato da

${\displaystyle s_{X,Y}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{n-1}}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n-1}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}.}$

Lo stimatore della covarianza è anche detto covarianza campionaria.

La varianza e la covarianza intervengono per definire l'indice di correlazione di Bravais-Pearson

${\displaystyle \rho _{X,Y}={\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum _{j}(x_{j}-{\bar {x}})^{2}\sum _{k}(y_{k}-{\bar {y}})^{2}}}}={\frac {{\text{Cov}}(X,Y)}{\sqrt {{\text{Var}}(X){\text{Var}}(Y)}}}.}$

La covarianza è limitata dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, infatti siano ${\displaystyle U=(x_{1}-{\bar {x}},\ldots ,x_{n}-{\bar {x}})}$ e ${\displaystyle V=(y_{1}-{\bar {y}},\ldots ,y_{n}-{\bar {y}})}$ i vettori degli scarti degli ${\displaystyle x_{i}}$ e ${\displaystyle y_{i}}$ rispetto alle relative medie, si può applicare la diseguaglianza ottenendo

${\displaystyle |\langle U,V\rangle |\leq {\sqrt {\langle U,U\rangle \langle V,V\rangle }}}$

che equivale a scrivere

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})\right|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}.}$

Moltiplicando per Un fattore ${\displaystyle 1/n}$ entrambi i lati si ottiene la relazione

${\displaystyle |\sigma _{X,Y}|\leq \sigma _{X}\sigma _{Y},}$

dove ${\displaystyle \sigma _{X}}$ e ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ sono le deviazioni standard per le due variabili.

Nel caso in cui ${\displaystyle z=f(x,y)}$ possiamo dire che la covarianza è limitata nell'intervallo

${\displaystyle |\sigma _{Z}|\leq |\partial _{x}f(x,y)|\sigma _{X}+|\partial _{y}f(x,y)|\sigma _{Y}.}$

Infatti, l'espressione generale per la deviazione standard di ${\displaystyle z}$ è

${\displaystyle \sigma _{Z}={\sqrt {|\partial _{x}f(x,y)|^{2}\sigma _{X}^{2}+|\partial _{y}f(x,y)|^{2}\sigma _{Y}^{2}+2|\partial _{x}f(x,y)||\partial _{y}f(x,y)|\sigma _{X,Y}}}.}$

Il valore massimo (minimo), per monotonia delle funzioni, sarà ottenuto in corrispondenza di ${\displaystyle \sigma _{X,Y}=\sigma _{X}\sigma _{Y}}$ (${\displaystyle \sigma _{X,Y}=-\sigma _{X}\sigma _{Y}}$), quindi il valore corrispondente di ${\displaystyle \sigma _{Z}}$ massimo sarà

${\displaystyle \sigma _{Z}={\sqrt {|\partial _{x}f(x,y)|^{2}\sigma _{X}^{2}+|\partial _{y}f(x,y)|^{2}\sigma _{Y}^{2}+2|\partial _{x}f(x,y)||\partial _{y}f(x,y)|\sigma _{X}\sigma _{Y}}}=|\partial _{x}f(x,y)|\sigma _{X}+|\partial _{y}f(x,y)|\sigma _{Y}.}$

Osserviamo che il valore massimo è dato dalla somma diretta dei contributi delle incertezze tipo moltiplicate per i relativi coefficienti ottenuti linearizzando la relazione. Si dimostra anche che tale formula è generalizzabile al caso di una funzione dipendente da ${\displaystyle n}$ variabili.

Voci correlate

• Valore atteso
• Variabili dipendenti e indipendenti
• Varianza
• Matrice delle covarianze

Collegamenti esterni

• (EN) Michael McDonough, covariance, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Covarianza, su MathWorld, Wolfram Research.

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