Costante di von Klitzing

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La costante di von Klitzing, indicata con R K {\displaystyle R_{K}} è una costante fisica definita come il rapporto tra la costante di Planck e il quadrato della carica elettrica fondamentale e ha le dimensioni di una resistenza:

R K = h e 2 {\displaystyle R_{K}={\frac {h}{e^{2}}}} .

Come nel caso della velocità della luce il valore della costante di von Klitzing è fissato convenzionalmente: a partire dal 1º gennaio 1990, il suo valore è per definizione pari a 25812,807 ohm[1]. Tale valore è stato in precedenza misurato con grande precisione per mezzo di misure dell'effetto Hall quantistico in eterostrutture. Tali misure sono state ripetute più volte in diversi laboratori metrologici e i risultati sono stati successivamente confrontati al fine di determinare l'entità massima dell'errore sperimentale. Poiché tali misure costituiscono fino a ora le più precise misure di resistenza disponibili, il valore della costante di von Klitzing è stato assunto come standard fondamentale di resistenza. Occorre però fare attenzione in quanto essa non definisce operativamente l'ohm (già definito a partire dall'ampere e dalle altre grandezze fondamentali del sistema internazionale) bensì costituisce un riferimento per costruire degli opportuni standard di resistenza.

Si può mostrare che la Costante di Klitzing rappresenta una resistenza elettrica a partire dall'espressione

h ν = m c 2 {\displaystyle h\nu =mc^{2}}

dove h è la costante di Planck (che vale 6,6260755×10−34Js), m è la massa dell'elettrone (che vale 9,1093897×10−31 kg) e c è la velocità della luce (che vale 8,987551787×1016 m/s) per cui

ν = 1 , 235589768 ⋅ 10 2 0 H z {\displaystyle \nu =1,235589768\cdot 10^{2}0Hz}

L'elettrone ha una carica elettrica e = 1,60217733×10−19 C che alla distanza R del raggio elettromagnetico dell'elettrone (che vale 2,81794092×10−15 m) determina il potenziale elettrico

V = e 4 π ε R = 5 , 1099905 ⋅ 10 5 V {\displaystyle V={\frac {e}{4\pi \varepsilon R}}=5,1099905\cdot 10^{5}V}

Il prodotto della frequenza ν dell'elettrone per 2πR vale la velocità 2,1876907×106 m ovvero αc con α costante di struttura fine dell'elettrone (che è uguale a 1/137,0359895).

Il prodotto della carica elettrica e la frequenza vale la corrente elettrica

i = e ν = 19 , 79633915 A {\displaystyle i=e\nu =19,79633915A}

il rapporto

V i = 2 , 581280586 ⋅ 10 4 Ω {\displaystyle {\frac {V}{i}}=2,581280586\cdot 10^{4}\Omega }

con i valori riportati su è

h e 2 = 2 , 581280589 ⋅ 10 4 J s C 2 {\displaystyle {\frac {h}{e^{2}}}=2,581280589\cdot 10^{4}{\frac {Js}{C^{2}}}}

da cui l'identità (quantitativa) tra V i {\displaystyle {\frac {V}{i}}} e h e 2 {\displaystyle {\frac {h}{e^{2}}}} .

Eguagliando la V i {\displaystyle {\frac {V}{i}}} e la h e 2 {\displaystyle {\frac {h}{e^{2}}}} , tenuto conto che V/i = 1/2εαc e, come mostrato in precedenza, αc = 2πRν si ha:

e 2 4 π ε R = h ν {\displaystyle {\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon R}}=h\nu }

che consente di ottenere l'identità "qualitativa" tra V i {\displaystyle {\frac {V}{i}}} e la h e 2 {\displaystyle {\frac {h}{e^{2}}}} perché l'energia emessa o assorbita dall'elettrone (hν) è pari all'energia del suo potenziale elettrico.

Dall'ultima equazione si può ottenere che la dimensione della Costante di Josephson è una frequenza/volt.

La Costante di Josephson è data da

2 e h {\displaystyle {\frac {2e}{h}}}

e vale 0,483597668×1015 C/Js. Il rapporto 2ν/V vale 0,483597668 GHz/V

Eguagliando le ultime due equazioni si ottiene

e 2 4 π ε R = h ν . {\displaystyle {\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon R}}=h\nu .}

Note

  1. ^ Giovanni Colella, Manuale di metrologia e strumentazione elettronica, HOEPLI EDITORE, 2002, ISBN 9788820330347. URL consultato il 10 luglio 2018.
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