Bias di Chebyshev

Grafico della funzione π ( x ; 4 , 3 ) − π ( x ; 4 , 1 ) {\displaystyle \pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)} per n ≤ 30000 {\displaystyle n\leq 30000}

Nella teoria dei numeri, il bias di Chebyshev è il fenomeno per cui i numeri primi inferiori a un dato numero che sono della forma 4 k + 3 {\displaystyle 4k+3} sono per la maggior parte delle volte più numerosi di quelli della forma 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1} , nonostante il loro limite sia lo stesso. Questo fenomeno fu osservato per la prima volta da Čebyšëv nel 1853.

Descrizione

Sia π ( x ; n , m ) {\displaystyle \pi (x;n,m)} il numero di primi fino a x {\displaystyle x} della forma n k + m {\displaystyle nk+m} . Per il teorema dei numeri primi (esteso alle progressioni aritmetiche),

π ( x ; 4 , 1 ) ∼ π ( x ; 4 , 3 ) ∼ 1 2 x log ⁡ x , {\displaystyle \pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}},}

cioè mediamente metà dei numeri primi sono della forma 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1} , e metà della forma 4 k + 3 {\displaystyle 4k+3} . Sarebbe dunque ragionevole supporre che, al variare di x {\displaystyle x} , una forma prevalga sull'altra nel 50% circa dei casi.

Le prove numeriche, tuttavia, non supportano tale ipotesi: infatti, π ( x ; 4 , 3 ) > π ( x ; 4 , 1 ) {\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)} si verifica molto più frequentemente. Ad esempio, questa disuguaglianza vale per tutti i primi minori di 26833 eccetto 5, 17, 41 e 461, nel qual caso si ha π ( x ; 4 , 3 ) = π ( x ; 4 , 1 ) {\displaystyle \pi (x;4,3)=\pi (x;4,1)} . Il primo numero primo tale che π ( x ; 4 , 3 ) < π ( x ; 4 , 1 ) {\displaystyle \pi (x;4,3)<\pi (x;4,1)} è 26861.

In generale, con a , b {\displaystyle a,b} numeri interi tali che 0 < a , b < n {\displaystyle 0<a,b<n} , se M C D ( a , n ) = M C D ( b , n ) = 1 {\displaystyle MCD(a,n)=MCD(b,n)=1} e a {\displaystyle a} è un residuo quadratico mod n {\displaystyle n} , e b {\displaystyle b} è un non-residuo quadratico mod n {\displaystyle n} , allora π ( x ; n , b ) = π ( x ; n , a ) {\displaystyle \pi (x;n,b)=\pi (x;n,a)} si verifica con maggiore frequenza; tuttavia la dimostrazione è possibile solo assumendo forme forti dell'ipotesi di Riemann.

La congettura più forte di Knapowski e Turán, secondo cui sarebbe unitaria la densità dei numeri per cui vale π ( x ; 4 , 3 ) > π ( x ; 4 , 1 ) {\displaystyle \pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)} si è rivelata falsa. In sostanza questa congettura affermerebbe che tale disuguaglianza vale per quasi tutti gli x {\displaystyle x} . Tuttavia, anche se la congettura non risulta vera, è noto che la densità logaritmica dei valori che la verificano è di circa 0,9959...[1].

Note

  1. ^ Chebyshev's bias, Experiment. Math. 3(3): 173-197 (1994).

Bibliografia

  • PL Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4 n + 1 e 4 n + 3, Boll. Classe Phys. Accad. Imp. Sci. San Pietroburgo , 11 (1853), 208.

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