Albero delle terne pitagoriche primitive

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In matematica un albero di terne pitagoriche primitive è una struttura ad albero in cui ogni nodo rappresenta una terna pitagorica primitiva; da ogni nodo si ramificano tre nodi. L'albero contiene l'insieme infinito di tutte e sole le terne pitagoriche primitive esistenti.

Lo stesso argomento in dettaglio: Terna pitagorica.

Una terna di numeri interi ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {N} }$ è una terna pitagorica se ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$; è una terna pitagorica primitiva se ${\displaystyle a,b,c}$ non hanno fattori in comune, cioè se ${\displaystyle MCD(a,b,c)=1}$.

Ogni terna pitagorica può essere parametrizzata tramite una coppia di numeri interi ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ con ${\displaystyle m>n\geq 1}$ che abbiano parità diversa (cioè uno sia pari e l'altro dispari):

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2}}$ (cateto dispari)

${\displaystyle b=2mn}$ (cateto pari)

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$ (ipotenusa)

La relazione inversa permette di calcolare ${\displaystyle m,n}$ per ogni terna:

${\displaystyle m={\sqrt {\frac {c+a}{2}}}}$

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {c-a}{2}}}}$

Considerando ${\displaystyle a,b}$ e ${\displaystyle m,n}$ come coordinate del piano complesso (${\displaystyle z_{1}=a\,i+b}$ e ${\displaystyle z_{2}=m\,i+n}$), si hanno le rispettive coordinate polari ${\displaystyle c,\theta }$ e ${\displaystyle r,\alpha }$. Si ottiene la relazione:

${\displaystyle z_{2}^{2}=(m+n\,i)^{2}=(m^{2}-n^{2})+(2mn)i=a+b\,i=z_{1}}$

da cui ${\displaystyle c=r^{2}}$ e ${\displaystyle \theta =2\alpha }$.

La relazione tra gli angoli può anche essere ottenuta da:

${\displaystyle \tan {\theta }={\frac {b}{a}}={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}={\frac {2(n/m)}{1-(n/m)^{2}}}={\frac {2\tan {\alpha }}{1-\tan ^{2}{\alpha }}}=\tan {2\alpha }}$

Gli alberi di terne pitagoriche primitive sono ottenuti a partire da un valore iniziale, tipicamente la terna (3,4,5) o la coppia (2,1), a cui sono applicate tre diverse trasformazioni lineari. È stato dimostrato che esistono solo tre possibili alberi.^[1]

Le tre matrici associate a ogni albero possono essere riferite alla tripla ${\displaystyle a,b,c}$ oppure alla coppia ${\displaystyle m,n}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}}\iff {\begin{pmatrix}j_{11}&j_{12}\\j_{21}&j_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}m'\\n'\end{pmatrix}}}$

Il primo albero utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:^{[2][3][4][5][6]}

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}},\,A={\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}},\,D={\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}}}$

con le corrispondenti per le coppie:

${\displaystyle U'={\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,A'={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}},\,D'={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}}$

Il secondo albero, introdotto da Firstov^[1] e Price^[7], utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:

${\displaystyle M_{1}={\begin{pmatrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{pmatrix}},\,M_{2}={\begin{pmatrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{pmatrix}},\,M_{3}={\begin{pmatrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\end{pmatrix}}}$

con le corrispondenti per le coppie:

${\displaystyle M_{1}'={\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}},\,M_{2}'={\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}},\,M_{3}'={\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}}}$

Il terzo albero, determinato da Firstov^[1], ha le seguenti matrici di trasformazione per le terne:

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}},\,M=M_{2}={\begin{pmatrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{pmatrix}},\,T=M_{1}\cdot D={\begin{pmatrix}-2&3&3\\-6&2&6\\-6&3&7\end{pmatrix}}}$

con le corrispondenti per le coppie:

${\displaystyle U'={\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,M'=M_{2}'={\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}},\,T'=M_{1}'\cdot D'={\begin{pmatrix}1&3\\0&2\end{pmatrix}}}$

• (EN) R.C. Alperin, The Modular Tree of Pythagoras (PDF), in American Mathematical Monthly, vol. 112, 2005, pp. 807-816.
• (NL) F.J.M. Barning, Over Pythagorese en bijna-Pythagorese Driehoeken en een Generatieproces Met Behulp van Unimodulaire Matrices (PDF), in Stichting Mathematisch Centrum. Zuivere Wiskunde, 1963.
• (SV) B. Berggren, Pytagoreiska Trianglar, in Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi, n. 17, 1934, pp. 129-139. (Bozza di traduzione in inglese)
• (EN) F.R. Bernhart e H.L. Price, Pythagoras' Garden, Revisited (PDF), in Australian Senior Mathematics Journal, vol. 26, n. 1, 2012, pp. 29-40.
• (EN) M.V. Bonsangue, A Geometrical Representation of Primitive Pythagorean Triples, in The Mathematics Teacher, vol. 90, n. 5, maggio 1997, pp. 350-354.
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• (EN) N. Calkin e H. Wilf, Recounting the Rationals (PDF), in American Mathematical Monthly, vol. 107, n. 4, aprile 2000, pp. 360-363.
• (EN) V. E. Firstov, A Special Matrix Transformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples, in Mathematical Notes, vol. 84, n. 2, agosto 2008, pp. 263-279.
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• (EN) A. Hall, Genealogy of Pythagorean Triads, in The Mathematical Gazette, vol. 54, n. 390, dicembre 1970, pp. 377-379.
• (EN) T. Jager, J: Relatively Prime - Relatively Prime, in Problems and Solutions, The College Mathematics Journal, vol. 23, n. 3, maggio 1992, pp. 251-252.
• (EN) D. Kalman, Angling for Pythagorean Triples, in The College Mathematics Journal, vol. 17, n. 2, marzo 1986, pp. 167-168.
• (EN) A.R. Kanga, The family tree of Pythagorean triples, in Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications, n. 26, gen.-feb. 1990, pp. 15-17.
• (EN) S. Katayama, Modified Farey Trees and Pythagorean Triples (PDF), in Journal of Mathematics, The University of Tokushima, vol. 47, 2013.
• (EN) J. Mack e V. Czernezkyj, The Tree in Pythagoras' Garden (PDF), in Australian Senior Mathematics Journal, vol. 24, n. 2, pp. 58-63.
• (EN) D.W. Mitchell, An Alternative Characterisation of all Primitive Pythagorean Triples, in The Mathematical Gazette, vol. 85, n. 503, luglio 2001, pp. 273-275.
• (EN) M. Newman, Recounting the Rationals, Continued, problem 10906, in American Mathematical Monthly, vol. 110, n. 7, agosto-settembre 2003, pp. 642-643.
• (EN) L. Palmer, M. Ahuja e M. Tikoo, Finding Pythagorean Triple Preserving Matrices, in Missouri Journal of Mathematical Sciences, vol. 10, n. 2, 1998, pp. 99-105.
• (EN) L. Palmer, M. Ahuja e M. Tikoo, Constructing Pythagorean Triple Preserving Matrices, in Missouri Journal of Mathematical Sciences, vol. 10, n. 3, 1998, pp. 159-168.
• (EN) H.L. Price, The Pythagorean Tree: A New Species (PDF), 2008.
• (EN) K. Ryde, Trees of Primitive Pythagorean Triples (PDF), maggio 2020.
• (EN) J. Tong, Conjugates of Pythagorean Triples, in The Mathematical Gazette, vol. 87, n. 510, novembre 2003, pp. 496-499.

• Terna pitagorica
• Albero (informatica)

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