Teorema isomorfisme

Dalam matematika, khususnya aljabar abstrak, isomorphism theorems (juga dikenal sebagai Teorema isomorfisme noether) adalah teorema yang menjelaskan hubungan antara hasil bagi, homomorfisme, dan subobjek. Versi teorema ada untuk grup, gelanggang, ruang vektor, modul, aljabar Lie, dan berbagai struktur aljabar lainnya. Dalam aljabar universal, teorema isomorfisme dapat digeneralisasikan untuk konteks aljabar dan kesesuaian.

Teori grup

Teorema isomorfisme pertama

Misalkan ${\displaystyle G}$ menjadi sebuah grup, ${\displaystyle N}$ menjadi subgrup normal pada ${\displaystyle G}$ dan ${\displaystyle H}$ menjadi subgrup oleh ${\displaystyle G}$. Kemudian produk kompleks ${\displaystyle HN:=\{hn\mid h\in H,n\in N\}}$ subgrup ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle N}$ adalah subgrup normal di ${\displaystyle HN}$ dan grup ${\displaystyle H\cap N}$ adalah pembagi normal di ${\displaystyle H}$. Hal berikut ini berlaku:

${\displaystyle H/(H\cap N)\cong HN/N.}$

${\displaystyle \cong }$ menunjukkan isomorfisme grup.

Isomorfisme yang biasanya dimaksudkan disebut sebagai isomorfisme kanonik. Menurut Teorema Homomorfisme, ini diturunkan dari pemetaan dugaan

${\displaystyle f\colon H\to HN/N,\quad h\mapsto hN,}$

diinduksi, karena jelas berlaku

${\displaystyle \mathrm {kern} \left(f\right)=\left\{a\in H\mid aN=N\right\}=\left\{a\in H\mid a\in N\right\}=H\cap N}$.

Dari teorema isomorfisme pertama, sebagai kasus khusus, seseorang menerima pernyataan yang jelas bahwa seseorang dapat "memperluas" dengan ${\displaystyle N}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle H\cap N=\{0\}}$.

Teorema isomorfisme kedua

Misalkan ${\displaystyle G}$ menjadi sebuah grup, ${\displaystyle H}$ menjadi subgrup normal di ${\displaystyle G}$ dan ${\displaystyle N}$ menjadi subgrup ${\displaystyle H}$, yang merupakan pembagi normal dalam ${\displaystyle G}$. Kemudian:

• ${\displaystyle (G/N)/(H/N)\cong G/H.}$

Dalam hal ini, isomorfisme kanonik dapat diberikan di kedua arah, diinduksi oleh di satu sisi

${\displaystyle G/N\to G/H,\quad gN\mapsto gH,}$

di sisi lain

${\displaystyle G\to (G/N)/(H/N),\quad g\mapsto gN(H/N).}$

Secara jelas, teorema isomorfisme kedua mengatakan bahwa ${\displaystyle N}$ dapat "dipersingkat".

Gelanggang

Teorema isomorfisme juga berlaku untuk gelanggang dalam bentuk yang disesuaikan:

Teorema isomorfisme pertama

Biarkan ${\displaystyle R}$ menjadi sebuah gelanggang, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ideal dari ${\displaystyle R}$ dan ${\displaystyle S}$ subgelanggang dari ${\displaystyle R}$. Maka jumlahnya ${\displaystyle S+{\mathfrak {a}}=\{s+a|s\in S,a\in {\mathfrak {a}}\}}$ cincin dengan ${\displaystyle R}$ dan potongan ${\displaystyle S\cap {\mathfrak {a}}}$ ideal dari ${\displaystyle S}$. Hal berikut ini berlaku:

${\displaystyle S/(S\cap {\mathfrak {a}})\cong (S+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle \cong }$ menunjukkan isomorfisme gelanggang.

Teorema isomorfisme kedua

Biarkan ${\displaystyle R}$ menjadi sebuah gelanggang, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}}$ dua rumus dengan ${\displaystyle R}$. Kemudian ${\displaystyle {\mathfrak {a}}/{\mathfrak {b}}=\{a+{\mathfrak {b}}|a\in {\mathfrak {a}}\}}$ rumusnya ${\displaystyle R/{\mathfrak {b}}}$. Hal berikut ini berlaku:

${\displaystyle (R/{\mathfrak {b}})/({\mathfrak {a}}/{\mathfrak {b}})\cong R/{\mathfrak {a}}}$

Ruang vektor, grup Abelian, atau objek dari kategori Abelian apa pun

Maka ${\displaystyle M,N\subseteq Q\subseteq P}$

• ruang vektor di atas bidang
• atau Grup Abelian
• atau lebih umum modul di atas gelanggang
• maka umumnya objek dari Kategori Abelian.

Sepuh Lalu:

• ${\displaystyle M/(M\cap N)\cong (M+N)/N}$
• ${\displaystyle (P/N)/(Q/N)\cong P/Q}$

Di sini, juga, simbol ${\displaystyle \cong }$ adalah singkatan dari isomorfisme dari struktur aljabar yang sesuai atau objek dalam kategori terkait.

Isomorfisme kanonik ditentukan dengan jelas oleh fakta bahwa mereka kompatibel dengan dua panah kanonik ${\displaystyle M}$ dan ${\displaystyle P}$.

Sebuah generalisasi luas dari teorema isomorfisme disediakan oleh Schlangenlemma.

Referensi

• Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) pp. 26–61
• Colin McLarty, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy (edited by Jeremy Gray and José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 9780486471891 
• Paul M. Cohn, Universal algebra, Chapter II.3 p. 57
• Milne, James S. (2013), Group Theory, 3.13 
• van der Waerden, B. I. (1994), Algebra, 1 (edisi ke-9), Springer-Verlag 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra. Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. 
• Burris, Stanley; Sankappanavar, H. P. (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9. 
• W. R. Scott (1964), Group Theory, Prentice Hall 
• John R. Durbin (2009). Modern Algebra: An Introduction (edisi ke-6). Wiley. ISBN 978-0-470-38443-5. 
• Anthony W. Knapp (2016), Basic Algebra (edisi ke-Digital second) 
• Pierre Antoine Grillet (2007), Abstract Algebra (edisi ke-2), Springer 
• Joseph J. Rotman (2003), Advanced Modern Algebra (edisi ke-2), Prentice Hall, ISBN 0130878685